Exercício Resolvido de Movimento Relativo
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Em um dia de chuva sem vento, a chuva cai verticalmente em relação ao solo com velocidade de 10 m/s. Um carro desloca-se horizontalmente com velocidade constante de 72 km/h em relação ao solo.
a) Qual a direção da chuva em relação ao carro?
b) Qual a velocidade da chuva em relação ao carro?


Dados do problema:
  • Velocidade do carro em relação ao solo:    vc = 72 km/h;
  • Velocidade da chuva em relação ao solo:    va = 10 m/s.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade do carro dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usada no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[ \begin{gather} v_c=72\;\frac{\;\mathrm{\cancel{km}}}{1\;\mathrm{\cancel{h}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel h}}{3600\;\mathrm s}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}=\frac{72}{3,6}\;\mathrm{\frac{m}{s}}=20\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
a) O problema nos dá os catetos \( {\vec v}_a \) e \( {\vec v}_c \) (Figura 1-A). Queremos achar a direção dada pelo ângulo θ, a tangente do ângulo θ será (Figura 1-B)
\[ \begin{gather} \operatorname{tg}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\frac{v_a}{v_c}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2} \end{gather} \]

Da Trigonometria o ângulo θ será o arco cuja tangente é \( \frac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} \theta =\operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right)=26,5° \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta=26,5°} \end{gather} \]

b) O módulo da velocidade da chuva em relação ao carro é representado por \( {\vec v}_{a/c} \), (Figura 1-A). A velocidade da chuva em relação ao carro, será obtida aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo da Figura 1-B. O módulo de \( {\vec v}_{a/c} \) representa a hipotenusa do triângulo, que queremos encontrar, e os módulos de \( {\vec v}_a \) e \( {\vec v}_c \) os catetos dados
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec v}_a={\vec v}_{a/c}+{\vec v}_c} \end{gather} \]
o módulo será
\[ \begin{gather} v_{a/c}^2=v_{a}^2+v_c^2\\[5pt] v_{a/c}^2=10^2+20^2\\[5pt] v_{a/c}^2=100+400\\[5pt] v_{a/c}=\sqrt{500\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{a/c}=22,4\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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