Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Uma locomotiva parte de uma estação A e chega a uma estação B distante 240 km da estação A após 4 horas. O diâmetro das rodas é igual a 1,25 m. Determine:
a) O número de rotações por minuto que efetua em média cada roda;
b) A velocidade angular de um ponto situado sobre a roda.


Dados do problema:
  • Distância entre as estações:    Δ S = 240 km = 240.000 m;
  • Tempo de duração da viagem:    Δ t = 4 h;
  • Diâmetro da roda da locomotiva:    d = 1,25 m.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com origem na estação A e orientado para a direita, no sentido da estação B.

Figura 1

Solução

Em primeiro lugar devemos converter o tempo, dado em horas (h), para minutos (min), usado no problema
\[ \begin{gather} \Delta t=4\;{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm{{min}}}{1\;\mathrm{{\cancel h}}}=240\;\mathrm{min} \end{gather} \]
Figura 2

a) O número de rotações, n, que a roda dará durante toda a viagem será
\[ \begin{gather} n=\frac{\text{distância percorrida}}{\text{comprimento de uma volta}}=\frac{\Delta S}{C} \tag{I} \end{gather} \]
O comprimento da circunferência (uma volta) é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {C=2\pi r} \end{gather} \]
como d = 2 r é igual ao diâmetro da roda dado no problema e adotando o valor π = 3,14
\[ \begin{gather} C=\pi d\\[5pt] C=3,14\times 1,25\\[5pt] C\approx 3,93\;\mathrm m \end{gather} \]
Substituindo este valor e a distância percorrida fornecida no problema na equação (I)
\[ \begin{gather} n=\frac{240000}{3,93}\\[5pt] n\approx 61068\;\text{rotações} \tag{II} \end{gather} \]
este é o número de rotações que a roda faz durante toda a viagem, dividindo este valor pela duração da viagem em minutos, encontrada na conversão acima
\[ \begin{gather} N=\frac{n}{\Delta t}\\[5pt] N=\frac{61068}{240} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {N\approx 254,5\;\mathrm{rpm}} \end{gather} \]

b) A velocidade angular é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega=2\pi f} \tag{III} \end{gather} \]

para encontrarmos a frequência, f, devemos converter o número de rotações por minuto (rpm), encontrado no item anterior para hertz (Hz)
\[ \begin{gather} f=254,5\;\frac{\text{rotações}}{\cancel{\mathrm{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=4,2\;\mathrm{Hz} \end{gather} \]
substituindo este valor na equação (III)
\[ \begin{gather} \omega=2\times 3,14\times 4,2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega=26,4\;\mathrm{rad/s}} \end{gather} \]
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