Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Circular
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Una locomotora parte de una estación A y llega a una estación B distante 240 km de la estación A después de 4 horas. El diámetro de las ruedas es igual a 1,25 m. Determine:
a) El número de rotaciones por minuto que efectúa en promedio cada rueda;
b) La velocidad angular de un punto situado sobre la rueda.
Datos del problema:
- Distancia entre las estaciones: Δ S = 240 km = 240.000 m;
- Tiempo de duración del viaje: Δ t = 4 h;
- Diámetro de la rueda de la locomotora: d = 1,25 m.
Tomamos un sistema de referencia con origen en la estación A y orientado hacia la derecha, en dirección de la estación B.
Solución
En primer lugar debemos convertir el tiempo, dado en horas (h), a minutos (min), como se usa en el problema
En primer lugar debemos convertir el tiempo, dado en horas (h), a minutos (min), como se usa en el problema
\[
\begin{gather}
\Delta t=4\;{\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm{{min}}}{1\;\mathrm{{\cancel h}}}=240\;\mathrm{min}
\end{gather}
\]
a) El número de rotaciones, n, que la rueda dará durante todo el viaje será
\[
\begin{gather}
n=\frac{\text{distancia recorrida}}{\text{longitud de una vuelta}}=\frac{\Delta S}{C} \tag{I}
\end{gather}
\]
La longitud de la circunferencia (una vuelta) está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=2\pi r}
\end{gather}
\]
como d = 2r es igual al diámetro de la rueda dado en el problema y usando el valor de
π = 3,14
\[
\begin{gather}
C=\pi d\\[5pt]
C=3,14\times 1,25\\[5pt]
C\approx 3,93\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Sustituyendo este valor y la distancia recorrida proporcionada en el problema en la ecuación (I)
\[
\begin{gather}
n=\frac{240000}{3,93}\\[5pt]
n\approx 61068\;\text{rotaciones} \tag{II}
\end{gather}
\]
este es el número de rotaciones que la rueda hace durante todo el viaje, dividiendo este valor por la
duración del viaje en minutos, encontrada en la conversión anterior
\[
\begin{gather}
N=\frac{n}{\Delta t}\\[5pt]
N=\frac{61068}{240}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N\approx 254,5\;\mathrm{rpm}}
\end{gather}
\]
b) La velocidad angular está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=2\pi f} \tag{III}
\end{gather}
\]
para encontrar la frecuencia, f, debemos convertir el número de rotaciones por minuto (rpm), encontrado en el ítem anterior a hertz (Hz)
\[
\begin{gather}
f=254,5\;\frac{\text{rotaciones}}{\cancel{\mathrm{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm s}=4,2\;\mathrm{Hz}
\end{gather}
\]
sustituyendo este valor en la ecuación (III)
\[
\begin{gather}
\omega=2\times 3,14\times 4,2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\omega=26,4\;\mathrm{rad/s}}
\end{gather}
\]
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