Exercício Resolvido de Movimento Circular
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Uma hélice de avião possui pás de 2 m de comprimento e giram com frequência de 1200 rpm. Calcule:
a) A frequência em hertz;
b) O período das rotações;
c) A velocidade angular da hélice;
d) A velocidade escalar de um ponto situado na ponta de uma das pás da hélice;
e) O módulo da aceleração centrípeta.


Dados do problema:
  • Comprimento da hélice (raio da circunferência):    r = 2 m;
  • Frequência de rotação:    f = 1200 rpm.
Esquema do problema:

Tomando-se um ponto na extremidade da hélice temos que a velocidade, \( \vec{v} \) , será tangente à trajetória e a hélice gira com velocidade angular ω (Figura 1).
Figura 1

Solução

a) Convertendo a frequência dada em rpm para hertz
\[ \begin{gather} f=1200\frac{\text{rotações}}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{min}}}{60\;\mathrm{s}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {f=20\;\mathrm{Hz}} \end{gather} \]

Observação: rotações é um número adimensional, por isso não aparece no resultado final.

b) O período em função da frequência será dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {T=\frac{1}{f}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} T=\frac{1}{20} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T=0,05\;\mathrm s} \end{gather} \]

c) A velocidade angular em função da frequência será dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\omega =2\pi f} \end{gather} \]
usando a frequência obtida no item (a)
\[ \begin{gather} \omega=2\times\pi\times 20 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\omega=40 \pi \;\mathrm{rad/s}} \end{gather} \]

Observação: a velocidade angular também pode ser obtida usando o período calculado no item (b), a expressão para a velocidade angular em função do período será
\[ \begin{gather} \omega=\frac{2\pi}{T}\\[5pt] \omega=\frac{2\pi}{0,05}=40\pi\;\mathrm{rad/s} \end{gather} \]

d) Adotando \( \pi=3,14 \) a velocidade escalar será
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v =\omega r} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v=40\times 3,14\times 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v \approx 251\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

e) O módulo da aceleração centrípeta é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {|\;a_{cp}\;|=\frac{v^2}{r}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} |\;a_{cp}\;|=\frac{251^2}{2}\\[5pt] |\;a_{cp}\;|=\frac{63001}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {|\;a_{cp}\;|\approx 31501\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
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