Exercício Resolvido de Dinâmica
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No sistema da figura os corpos A e B, de massas 20 kg e 10 kg respectivamente, estão ligados por uma corda. Na corda está fixo um dinamômetro, onde se lê que a força de tensão na corda é de 100 N, e entre o corpo A e o plano existe atrito. A corda é inextensível e passa por uma polia sem atrito e de massa desprezível. Determinar a aceleração do sistema e o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano.

 

Dados do problema:

  • Massa do corpo A:    ma = 20 kg;
  • Massa do corpo B:    mb = 10 kg;
  • Leitura da força de tensão no dinamômetro:    T = 100 N;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Escolhemos a aceleração no sentido em que o corpo A está descendo, mesmo sentido da aceleração da gravidade (Figura 1).

Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Bloco A (Figura 2):
    • \( {\vec P}_a \): peso do bloco A;
    • \( \vec T \): força de tensão na corda.
Figura 2
  • Bloco B (Figura 3):
    • Direção vertical:
      • \( {\vec P}_b \): peso do corpo B;
      • \( {\vec N}_b \): força de reação normal da superfície sobre o bloco B.
    • Direção horizontal:
      • \( \vec T \): tensão na corda;
      • \( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o bloco e a superfície.
Figura 3

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Bloco A:
\[ \begin{gather} P_a-T=m_aa \tag{I} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{II} \end{gather} \]

para o corpo A

\[ \begin{gather} P_a=m_ag \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (I)

\[ \begin{gather} m_ag-T=m_aa \\[5pt] a=\frac{m_ag-T}{m_a} \\[5pt] a=\frac{20\times 9,8-100}{20} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=4,8\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
  • Bloco B:
    • Direção horizontal:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} T-F_{at}=m_ba \tag{IV} \end{gather} \]

A força de atrito é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{at}=\mu \vec N} \end{gather} \]

para o bloco B

\[ \begin{gather} F_{at}=\mu N_b \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (IV)

\[ \begin{gather} T-\mu N_b=m_ba \tag{VI} \end{gather} \]
  • Bloco B:
    • Direção vertical:

Nesta direção não há movimento, a força peso e a reação normal se equilibram

\[ \begin{gather} N_b=P_b \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) para a força peso do corpo B

\[ \begin{gather} P_b=m_bg \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VIII) na equação (VII)

\[ \begin{gather} N_b=m_bg \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo a equação (IX) na equação (VI), os dados do problema e a aceleração encontrada acima

\[ \begin{gather} T-\mu m_bg=m_ba \\[5pt] \mu=\frac{T-m_ba}{m_bg} \\[5pt] \mu=\frac{100-10\times 4,8}{10\times 9,8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mu\approx 0,5} \end{gather} \]
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