Exercice Résolu sur les Dynamique
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Dans le système de la figure, les corps A et B, de masses respectives 20 kg et 10 kg, sont reliés par un câble. Un dynamomètre est fixé sur le câble, indiquant une force de tension de 100 N, et il y a du frottement entre le corps A et le plan. Le câble est inextensible et passe par une poulie sans frottement et de masse négligeable. Déterminons l'accélération du système et le coefficient de frottement entre le bloc et le plan.


Données du problème
  • Masse du corps A:    mA = 20 kg;
  • Masse du corps B:    mB = 10 kg;
  • Lecture de la force de tension sur le dynamomètre:    T = 100 N;
  • Accélération de la pesanteur:    g = 9,8 m/s2.
Schéma du problème

Nous choisissons l'accélération dans le sens où le corps A descend, dans le même sens que l'accélération de la pesanteur (Figure 1).

Figure 1

En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les blocs.

  • Bloc A (Figure 2):
    • \( {\vec P}_{\small A} \): poids du bloc A;
    • \( \vec T \): force de tension dans le fil.

Figure 2

  • Bloc B (Figure 3):
    • Direction verticale
      • \( {\vec P}_{\small B} \): poids du corps B;
      • \( {\vec N}_{\small B} \): force de réaction normale de la surface sur le corps B.
    • Direction horizontale
      • \( \vec T \): force de tension dans le fil;
      • \( {\vec F}_{f} \): force de frottement entre le bloc et la surface.

Figure 3
Solution

En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Bloc A:
\[ \begin{gather} P_{\small A}-T=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
Le poids est donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{II} \end{gather} \]
pour le corps A
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{III} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (III) dans l'équation (I)
\[ \begin{gather} m_{\small A}g-T=m_{\small A}a\\[5pt] a=\frac{m_{\small A}g-T}{m_{\small A}}\\[5pt] a=\frac{20\times 9,8-100}{20} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=4,8\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]
  • Bloc B:
    • Direction horizontale:
En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} T-F_{f}=m_{\small B}a \tag{IV} \end{gather} \]
La force de frottement est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{f}=\mu \vec N} \end{gather} \]
pour le bloc B
\[ \begin{gather} F_{f}=\mu N_{\small B} \tag{V} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (V) dans l'équation (IV)
\[ \begin{gather} T-\mu N_{\small B}=m_{\small B}a \tag{VI} \end{gather} \]
  • Bloc B:
    • Direction verticale:
Dans cette direction, il n'y a pas de mouvement, le poids et la réaction normale s'équilibrent
\[ \begin{gather} N_{\small B}=P_{\small B} \tag{VII} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (II) pour le poids du corps B
\[ \begin{gather} P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{VIII} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (VIII) dans l'équation (VII)
\[ \begin{gather} N_{\small B}=m_{\small B}g \tag{IX} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (IX) dans l'équation (VI), avec les données du problème et l'accélération trouvée ci-dessus
\[ \begin{gather} T-\mu m_{\small B}g=m_{\small B}a\\[5pt] \mu=\frac{T-m_{\small B}a}{m_{\small B}g}\\[5pt] \mu=\frac{100-10\times 4,8}{10\times 9,8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mu\approx 0,5} \end{gather} \]
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