Exercício Resolvido de Dinâmica

Um bloco, de massa 5 kg, é lançado com velocidade inicial de 20 m/s em direção ascendente sobre um plano inclinado de 45°. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é igual a 0,4. Determine a distância que o bloco percorrerá até parar.

Dados do problema:

Massa do bloco: m = 5 kg;
Velocidade inicial do bloco: v₀ = 20 m/s;
Ângulo de inclinação do plano: θ = 45°;
Coeficiente de atrito: μ = 0,4;
Aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s².

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência apontado no sentido ascendente do plano inclinado e com o eixo-x paralelo ao plano (Figura 1).

Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam no bloco (Figura 2).

\( \vec P \): peso do bloco;
\( \vec N \): força de reação normal da superfície sobre o bloco;
\( {\vec F}_{at} \): força de atrito entre o bloco e o plano.

A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ao eixo-x, \( {\vec P}_{\small P} \), e a outra normal ou perpendicular, \( {\vec P}_{\small N} \) (Figura 3-A).
Desenhamos as forças em um sistema de eixos xy (Figura 3-B).

Figura 2

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]

Direção x:

\[ \begin{gather} -P_{\small P}-F_{at}=ma \tag{I} \end{gather} \]

A componente paralela do peso é dada por

\[ \begin{gather} P_{\small P}=P\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]

substituindo a equação (II) na equação (I)

\[ \begin{gather} -P\operatorname{sen}\theta-F_{at}=ma \tag{III} \end{gather} \]

Direção y:

Não há movimento nessa direção, a força de reação normal e a componente normal do peso se equilibram

\[ \begin{gather} N=P_{\small N} \tag{IV} \end{gather} \]

A componente normal do peso é dada por

\[ \begin{gather} P_{\small N}=P\cos \theta \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a equação (V) na equação (IV)

\[ \begin{gather} N=P\cos\theta \tag{VI} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VII} \end{gather} \]

substituindo a equação (VII) nas equações (III) e (VI)

\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-F_{at}=ma \tag{VIII} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} N=mg\cos\theta \tag{IX} \end{gather} \]

A força de atrito é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{at}=\mu\vec N} \tag{X} \end{gather} \]

substituindo a equação (X) na equação (VIII)

\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-\mu N=ma \tag{XI} \end{gather} \]

substituindo a equação (IX) na equação (XI)

\[ \begin{gather} -\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta-\mu\cancel{m}g\cos\theta=\cancel{m}a \\[5pt] a=-g(\operatorname{sen}\theta+\mu\cos\theta) \end{gather} \]

o sinal de negativo da aceleração indica que ela esta no sentido contrário ao da orientação da trajetória e o bloco esta sendo freado.

\[ \begin{gather} a=-9,8\times(\operatorname{sen}45°-0,4\cos 45°) \end{gather} \]

Da Trigonometria temos que \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \) e \( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} a=-9,8\times\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}+0,4\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right) \\[5pt] a=-9,7\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]

Aplicando a Equação de Torricelli

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]

O bloco vai desacelerando até que sua velocidade final seja nula, v = 0, e substituindo a velocidade inicial dada no problema e a aceleração calculada

\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-20^2}{2\times\left(-9,7\right)} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=20,6\;\text m} \end{gather} \]

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