Ejercicio Resuelto sobre Dinámica
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Un bloque, con una masa de 5 kg, es lanzado con una velocidad inicial de 20 m/s en dirección ascendente sobre un plano inclinado de 45°. El coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es igual a 0,4. Determine la distancia que el bloque recorrerá hasta detenerse.


Datos del problema:
  • Masa del bloque:    m = 5 kg;
  • Velocidad inicial del bloque:    v0 = 20 m/s;
  • Ángulo de inclinación del plano:    θ = 45°;
  • Coeficiente de fricción:    μ = 0,4;
  • Aceleración de la gravedad:    g = 9,8 m/s2.
Esquema del problema:

Tomando un sistema de referencia orientado en sentido ascendente del plano inclinado y con el eje-x paralelo al plano (Figura 1).

Figura 1

Haciendo un Diagrama de Cuerpo Libre tenemos las fuerzas que actúan sobre el bloque (Figura 2).
  • \( \vec P \): peso del bloque;
  • \( \vec N \): fuerza de reacción normal de la superficie sobre el bloque;
  • \( {\vec F}_{f} \): fuerza de fricción entre el bloque y el plano.
El peso puede descomponerse en dos, una componente paralela al eje-x, \( {\vec P}_{\small P} \), y la otra normal o perpendicular, \( {\vec P}_{\small N} \) (Figura 3-A).
Dibujamos las fuerzas en un sistema de ejes xy (Figura 3-B).
Figura 2

Solución

Aplicando la Segunda Ley de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Dirección x:
\[ \begin{gather} -P_{\small P}-F_{f}=ma \tag{I} \end{gather} \]
La componente paralela del peso está dado por
\[ \begin{gather} P_{\small P}=P\operatorname{sen}\theta \tag{II} \end{gather} \]
reemplazando la ecuación (II) en la ecuación (I)
\[ \begin{gather} -P\operatorname{sen}\theta-F_{f}=ma \tag{III} \end{gather} \]
  • Dirección y:
No hay movimiento en esta dirección, la reacción normal y la componente normal del peso se equilibran.
\[ \begin{gather} N=P_{\small N} \tag{IV} \end{gather} \]
La componente normal del peso es dado por
\[ \begin{gather} P_{\small N}=P\cos \theta \tag{V} \end{gather} \]
reemplazando la ecuación (V) en la ecuación (IV)
\[ \begin{gather} N=P\cos \theta \tag{VI} \end{gather} \]
El peso es dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{VII} \end{gather} \]
reemplazando la ecuación (VII) en las ecuaciones (III) y (VI)
\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-F_{f}=ma \tag{VIII} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} N=mg\cos \theta \tag{IX} \end{gather} \]
La fuerza de fricción es dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{f}=\mu \vec N} \tag{X} \end{gather} \]
reemplazando la ecuación (X) en la ecuación (VIII)
\[ \begin{gather} -mg\operatorname{sen}\theta-\mu N=ma \tag{XI} \end{gather} \]
reemplazando la ecuación (IX) en la ecuación (XI)
\[ \begin{gather} -\cancel{m}g\operatorname{sen}\theta -\mu \cancel{m}g\cos \theta=\cancel{m}a\\[5pt] a=-g(\operatorname{sen}\theta +\mu \cos \theta ) \end{gather} \]
el signo negativo de la aceleración indica que está en sentido contrario a la orientación de la trayectoria y el bloque está siendo frenado.
\[ \begin{gather} a=-9,8\times(\operatorname{sen}45°-0,4\cos 45°) \end{gather} \]

De la Trigonometría tenemos que   \( \operatorname{sen}45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)   y   \( \cos 45°=\dfrac{\sqrt{2\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} a=-9,8\times\left(\frac{\sqrt{2\;}}{2}+0,4\times\frac{\sqrt{2\;}}{2}\right)\\[5pt] a=-9,7\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
Aplicando la ecuación de la velocidad en función de la aceleración y del desplazamiento
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_0^2+2a\Delta S} \end{gather} \]
El bloque va desacelerando hasta que su velocidad final sea nula, v = 0, y reemplazando la velocidad inicial dada en el problema y la aceleración calculada
\[ \begin{gather} \Delta S=\frac{v^2-v_0^2}{2a}\\[5pt] \Delta S=\frac{0^2-20^2}{2\times\left(-9,7\right)} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=20,6\;\mathrm m} \end{gather} \]
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