Ejercicio Resuelto sobre Dinámica
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Un cuerpo, de masa igual a 2 kg con velocidad inicial de 10 m/s en sentido positivo, está bajo la acción
de una fuerza variable en función de la posición, dada por
\[
\begin{gather}
F_x=-8x \qquad\qquad\text{unidades (SI)}
\end{gather}
\]
¿Cuál será la distancia recorrida por ese cuerpo hasta que su velocidad sea igual a cero?
Datos del problema:
- Masa del cuerpo: m = 2 kg;
- Velocidad inicial del cuerpo: v0 = 10.
Tomamos un sistema de referencia con el eje Ox orientado hacia la derecha y el eje Oy hacia arriba (Figura 1).
La fuerza dada es negativa, es una fuerza de resistencia que está en la dirección opuesta al movimiento. La fuerza actúa disminuyendo la velocidad del cuerpo hasta que su velocidad final sea igual a cero.
Solución:
Aplicando la Segunda Ley de Newton en la dirección x, la fuerza dada en el problema es la única fuerza en esta dirección.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf F=m\frac{d\mathbf v}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_x=m\frac{dv_x}{dt}\\[5pt]
-8x=2\frac{dv_x}{dt}
\end{gather}
\]
multiplicando y dividiendo el lado derecho de la ecuación por dx
\[
\begin{gather}
-4x=\frac{dv_x}{dt}\frac{dx}{dx}
\end{gather}
\]
invirtiendo el orden de los términos de integración en el denominador
\[
\begin{gather}
-4x=\frac{dv_x}{dx}\frac{dx}{dt}
\end{gather}
\]
aplicando la definición de velocidad
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
integrando en dx ambos lados de la igualdad
\[
\begin{gather}
\int -4x\;dx=\int v_x\frac{dv_x}{dx}\;dx\\[5pt]
\int-4x\;dx=\int v_x\;dv_x
\end{gather}
\]
el factor constante (−4) sale de la integral en el lado izquierdo
\[
\begin{gather}
-4\int x\;dx=\int v_x\;dv_x
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int x\;dx \)
\[
\begin{gather}
\int x\;dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1=\frac{x^2}{2}+C_1
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int v_x\;dv_x \)
\[
\begin{gather}
\int v_x\;dv_x=\frac{v_x^{1+1}}{1+1}+C_2=\frac{v_x^2}{2}+C_2
\end{gather}
\]
donde C1 y C2 son constantes de integración.
\[
\begin{gather}
-4\left(\frac{x^2}{2}+C_1\right)=\frac{v_x^2}{2}+C_2\\[5pt]
-{\frac{4x^2}{2}}-4C_1=\frac{v_x^2}{2}+C_2\\[5pt]
-{\frac{4x^2}{2}}-4C_1-C_2=\frac{v_x^2}{2}
\end{gather}
\]
definiendo las constantes C1 y C2 como una nueva constante C
\[
\begin{gather}
C\equiv -4C_1-C_2
\end{gather}
\]
La ecuación de la velocidad en función de la posición tendrá la forma
\[
\begin{gather}
\frac{v_x^2}{2}=-{\frac{4x^2}{2}}+C
\end{gather}
\]
La constante C se determina usando la condición inicial dada en el problema: en x = 0, y
vx = 10 m/s
\[
\begin{gather}
\frac{10^2}{2}=-{\frac{4\times 0^2}{2}}+C\\[5pt]
C=\frac{100}{2}\\[5pt]
C=50
\end{gather}
\]
La ecuación de la velocidad será
\[
\begin{gather}
\frac{v_x^2}{2}=-{\frac{4x^2}{2}}+50
\end{gather}
\]
multiplicando la ecuación por 2 en ambos lados de la igualdad
\[
\begin{gather}
\qquad\quad\quad \frac{v_x^2}{2}=-{\frac{4x^2}{2}}+50 \quad\quad \mathrm{(\times 2)} \\[5pt]
\frac{v_x^2}{\cancel 2}\times \cancel 2=-{\frac{4x^2}{\cancel 2}}\times \cancel 2+50\times 2 \\[5pt]
v_x^2=-4x^2+100
\end{gather}
\]
Cuando la velocidad sea igual a cero, vx = 0, la posición será
\[
\begin{gather}
0^2=-4x^2+100\\[5pt]
4x^2=100\\[5pt]
x=\sqrt{\frac{50}{2}\;}\\[5pt]
x=\sqrt{25\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=5\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
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