Ejercicio Resuelto sobre Condensadores
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Encuentra el condensador equivalente entre los puntos A y B del circuito representado en la
figura.
Solución
Vamos a redibujar el circuito de la siguiente manera para facilitar la visualización (Figura 1)
Este tipo de circuito se resuelve usando la técnica llamada transformación Estrella-Triángulo (también llamada Y-Δ), haciendo la siguiente modificación en el circuito (Figura 2)
El condensador Ca se dará por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_a=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_a=\frac{2C\,C+2C\,2C+C\,2C}{2C}\\[5pt]
C_a=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C}\\[5pt]
C_a=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C}\\[5pt]
C_a=4C \tag{I}
\end{gather}
\]
El condensador Cb se dará por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_b=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_b=\frac{2C\,C+2C\,2C+C\,2C}{C}\\[5pt]
C_b=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{C}\\[5pt]
C_b=\frac{8C^{\cancel 2}}{\cancel C}\\[5pt]
C_b=8C \tag{II}
\end{gather}
\]
El condensador Cc se dará por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_c=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_1}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_c=\frac{2C\,C+2C\,2C+C\,2C}{2C}\\[5pt]
C_c=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C}\\[5pt]
C_c=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C}\\[5pt]
C_c=4C \tag{III}
\end{gather}
\]
Entonces, usando los valores de (I), (II) y (III), el circuito a resolver se convierte en el siguiente
(Figura 3)
Los dos condensadores entre los puntos D y E, Cb y C, están en serie, el condensador equivalente C4 está dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\frac{C_A C_B}{C_A+C_B}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_4=\frac{C_b\,C}{C_b+C}\\[5pt]
C_4=\frac{8C\,C}{8C+C}\\[5pt]
C_4=\frac{8C^{\cancel 2}}{9\cancel C}\\[5pt]
C_4=\frac{8}{9}C
\end{gather}
\]
Los dos condensadores entre los puntos D y F, Cc y 2C, están en serie,
aplicando la expresión (IV), el condensador equivalente C5 entre ellos será
\[
\begin{gather}
C_5=\frac{C_c\,2C}{C_c+2C}\\[5pt]
C_5=\frac{4 C\,2C}{4C+2C}\\[5pt]
C_5=\frac{\cancelto{4}8C^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}6\cancel{C}}\\[5pt]
C_5=\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
El circuito puede ser representado como (Figura 4)
Los dos condensadores obtenidos anteriormente están conectados en paralelo, el condensador equivalente está dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\sum_{i=1}^{n}C_{i}}
\end{gather}
\]
el condensador equivalente C6 entre ellos será
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
multiplicando el numerador y el denominador del segundo término del lado derecho de la igualdad por 3
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{3}{3}\times\frac{4}{3}C\\[5pt]
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{12}{9}C\\[5pt]
C_6=\frac{20}{9}C
\end{gather}
\]
El circuito se reduce a dos condensadores en serie (Figura 5)
el condensador equivalente Ceq del circuito será
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4C\times\dfrac{20}{9}C}{4C+\dfrac{20}{9}C}
\end{gather}
\]
en el denominador, multiplicamos el numerador y el denominador del primer término por 9
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4 C\times\dfrac{20}{9}C}{\dfrac{9}{9}\times 4C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^2 }{\dfrac{36}{9}C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{\cancel 9}C^{\cancel 2}}{\dfrac{56}{\cancel 9}\cancel C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\cancelto{10}{80}}{\cancelto{7}{56}}C
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C_{eq}=\frac{10}{7}C}
\end{gather}
\]
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