Exercício Resolvido de Capacitores
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Encontre o capacitor equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.
Solução
Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1)
Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação Triângulo-Estrela (também chamada Delta-Estrela ou ΔY), fazendo a seguinte modificação no circuito (Figura 2)
O capacitor Ca será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_a=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_3}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_a=\frac{2C\,C+2C\,2C+C\,2C}{2C}\\[5pt]
C_a=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C}\\[5pt]
C_a=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C}\\[5pt]
C_a=4C \tag{I}
\end{gather}
\]
O capacitor Cb será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_b=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_b=\frac{2C\,C+2C\,2C+C\,2C}{C}\\[5pt]
C_b=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{C}\\[5pt]
C_b=\frac{8C^{\cancel 2}}{\cancel C}\\[5pt]
C_b=8C \tag{II}
\end{gather}
\]
O capacitor Cc será dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_c=\frac{C_1 C_2+C_1 C_3+C_2 C_3}{C_1}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_c=\frac{2C\,C+2C\,2C+C\,2C}{2C}\\[5pt]
C_c=\frac{2C^2+4C^2+2C^2}{2C}\\[5pt]
C_c=\frac{\cancelto{4}{8}C^{\cancel 2}}{\cancel 2\cancel C}\\[5pt]
C_c=4C \tag{III}
\end{gather}
\]
Então usando os valores de (I), (II) e (III) o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3)
Os dois capacitores entre os pontos D e E, Cb e C estão em série, o capacitor equivalente C4 é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\frac{C_A C_B}{C_A+C_B}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
C_4=\frac{C_b\,C}{C_b+C}\\[5pt]
C_4=\frac{8C\,C}{8C+C}\\[5pt]
C_4=\frac{8C^{\cancel 2}}{9\cancel C}\\[5pt]
C_4=\frac{8}{9}C
\end{gather}
\]
Os dois capacitores entre os pontos D e F, Cc e 2C estão em
série, aplicando a expressão (IV)) o capacitor equivalente C5 entre eles será
\[
\begin{gather}
C_5=\frac{C_c\,2C}{C_c+2C}\\[5pt]
C_5=\frac{4 C\,2C}{4C+2C}\\[5pt]
C_5=\frac{\cancelto{4}8C^{\cancel{2}}}{\cancelto{3}6\cancel{C}}\\[5pt]
C_5=\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
O circuito pode ser representado como (Figura 4)
Os dois capacitores obtidos acima estão ligados em paralelo, o capacitor equivalente é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C_{eq}=\sum_{i=1}^{n}C_{i}}
\end{gather}
\]
o capacitor equivalente C6 entre eles será
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{4}{3}C
\end{gather}
\]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 3
\[
\begin{gather}
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{3}{3}\times\frac{4}{3}C\\[5pt]
C_6=\frac{8}{9}C+\frac{12}{9}C\\[5pt]
C_6=\frac{20}{9}C
\end{gather}
\]
O circuito se reduz a dois capacitores em série (Figura 5)
o capacitor equivalente Ceq do circuito será
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4C\times\dfrac{20}{9}C}{4C+\dfrac{20}{9}C}
\end{gather}
\]
no denominador multiplicamos o numerador e o denominador do primeiro termo por 9
\[
\begin{gather}
C_{eq}=\frac{4 C\times\dfrac{20}{9}C}{\dfrac{9}{9}\times 4C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{9}C^2 }{\dfrac{36}{9}C+\dfrac{20}{9}C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\dfrac{80}{\cancel 9}C^{\cancel 2}}{\dfrac{56}{\cancel 9}\cancel C}\\[5pt]
C_{eq}=\frac{\cancelto{10}{80}}{\cancelto{7}{56}}C
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C_{eq}=\frac{10}{7}C}
\end{gather}
\]
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