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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur eindimensionalen Bewegung
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Ein Motorradfahrer bewegt sich entgegen der Orientierung des Bezugssystems. Seine Anfangsgeschwindigkeit beträgt dem Betrag nach 25 m/s, und zum Anfangszeitpunkt beträgt seine Position −150 m. Das Motorrad wird mit einer Verzögerung von 2 m/s2 abgebremst. Bestimmen Sie:
a) Die Gleichung der Position als Funktion der Zeit für diesen Motorradfahrer;
b) Die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit;
c) Den Zeitpunkt, zu dem er durch den Ursprung fährt;
d) Den Zeitpunkt, zu dem seine Geschwindigkeit null ist.

Gegebene Daten:

  • Betrag der Anfangsgeschwindigkeit des Motorradfahrers: |v0| = 25 m/s;
  • Betrag der Beschleunigung des Motorradfahrers: |a| = 2 m/s2;
  • Position zum Anfangszeitpunkt: S0 = −150 m.

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem, das nach rechts orientiert ist.

Abb. 1

Lösung:

a) Der Motorradfahrer besitzt eine Beschleunigung, er befindet sich in einer Gleichmäßig Beschleunigten Geradlinigen Bewegung, gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}\;t^2} \end{gather} \]

die Anfangsposition ist im Problem gegeben, S0 = −150 m. Da sich der Motorradfahrer entgegen der Orientierung der Bahn bewegt, ist seine Geschwindigkeit negativ, (v<0), also gilt v = −25 m/s. Der Motorradfahrer wird abgebremst, seine Beschleunigung ist entgegengesetzt zur Orientierung der Geschwindigkeit (a>0), also gilt a= 2 m/s2. Die Gleichung der Position als Funktion der Zeit lautet

\[ \begin{gather} S=-150-25t+\frac{2}{2}\;t^2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {S=-150-25t+t^2} \end{gather} \]

b) Für die Gleichung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit wollen wir eine Funktion der Form

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=v_0+at} \end{gather} \]

mit den gegebenen Daten erhalten wir

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v=-25t+2t} \end{gather} \]

c) Wenn der Motorradfahrer durch den Ursprung fährt, gilt S = 0. Durch Einsetzen dieses Wertes in die im Teil (a) gefundene Gleichung erhalten wir

\[ \begin{gather} 0=-150-25\;t+t^2 \end{gather} \]

Dies ist eine Quadratische Gleichung, bei der die Unbekannte der gesuchte Wert der Zeit ist.

Lösung der Quadratische Gleichung \( t^2-25\;t-150=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta =b^2-4ac=(-25)^2-4\times 1\times(-150)=625+600=1225 \\[10pt] t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-25)\pm \sqrt{1225\;}}{2\times 1}=\frac{25\pm 35}{2} \end{gather} \]
die beiden Lösungen der Gleichung sind
\[ \begin{gather} t_1=30\;\mathrm s\qquad \mathrm{e}\qquad t_2=-5\;\mathrm s \end{gather} \]

Da es keine negative Zeit gibt, verwerfen wir die zweite Lösung. Er wird bei t = 30 s durch den Ursprung fahren (er beginnt die Bewegung links vom Ursprung, seine Geschwindigkeit nimmt aufgrund der Verzögerung ab, bis sie null wird. Danach ändert er seine Bewegungsrichtung und beginnt, sich in Richtung der Orientierung des Bezugssystems zu bewegen, bis er den Ursprung passiert).

d) Wenn die Geschwindigkeit des Motorrads null wird, gilt v = 0. Durch Einsetzen dieses Wertes in die im Teil (b) gefundene Gleichung erhalten wir

\[ \begin{gather} 0=-25+2t \\[5pt] 2t=25 \\[5pt] t=\frac{25}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=12,5\;\mathrm s} \end{gather} \]

Dies ist der Zeitpunkt, zu dem der Motorradfahrer seine Bewegungsrichtung ändert und beginnt, sich in Richtung der Orientierung des Bezugssystems zu bewegen, bis er den Ursprung passiert.

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