Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um motociclista está em movimento retrógrado, sua velocidade inicial, em módulo, vale 25 m/s e no instante inicial sua posição é de −150 m, a motocicleta está com uma desaceleração, em módulo, de 2 m/s2. Determinar:
a) A função horária do movimento deste motociclista;
b) A função horária da velocidade;
c) O instante em que ele passa pela origem;
d) O instante em que sua velocidade é nula.


Dados do problema:
  • Módulo da velocidade inicial do motociclista:    |v0| = 25 m/s;
  • Módulo da aceleração do motociclista:    |a| = 2 m/s2;
  • Posição no instante inicial:    S0 = −150 m.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com sentido positivo orientado para a direita.

Figura 1

Solução

a) O motociclista possui aceleração, ele está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}\;t^2} \end{gather} \]
o espaço inicial é dado no problema, S0 = −150 m, como o motociclista está em movimento retrógrado seu movimento se dá contra a orientação da trajetória sendo sua velocidade negativa, (v<0), temos v = −25 m/s, o motociclista está desacelerando, sua aceleração está contra a orientação da velocidade (a>0), temos a= 2 m/s2. A função horária será
\[ \begin{gather} S=-150-25t+\frac{2}{2}\;t^2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S=-150-25t+t^2} \end{gather} \]

b) Para a função horária da velocidade queremos encontrar uma função do tipo
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+at} \end{gather} \]
usando os dados do problema obtemos
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=-25t+2t} \end{gather} \]

c) Quando o motociclista passa pela origem temos S = 0 substituindo este valor na expressão encontrada no item (a)
\[ \begin{gather} 0=-150-25\;t+t^2 \end{gather} \]
Esta é uma Equação de 2.º Grau, onde a incógnita é o valor do tempo que queremos encontrar.

Solução da Equação de 2.º Grau   \( t^2-25\;t-150=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta =b^2-4ac=(-25)^2-4\times 1\times(-150)=625+600=1225\\[10pt] t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-25)\pm \sqrt{1225\;}}{2\times 1}=\frac{25\pm 35}{2} \end{gather} \]
as duas raízes da equação serão
\[ \begin{gather} t_{1}=30\;\mathrm s\qquad \mathrm{e}\qquad t_2=-5\;\mathrm s \end{gather} \]

Como não existe tempo negativo desprezamos a segunda raiz, ele passará pela origem em t = 30 s (ele começa o movimento à esquerda da origem, sua velocidade vai diminuindo devido à desaceleração até ficar igual a zero, então muda de sentido e começa a se mover no sentido do referencial até passar pela origem).

d) Quando a velocidade da moto se anula, temos v = 0, substituindo este valor na expressão encontrada no item (b)
\[ \begin{gather} 0=-25+2t\\[5pt] 2t=25\\[5pt] t=\frac{25}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=12,5\;\mathrm s} \end{gather} \]
Este é o instante que o motociclista muda de sentido e começa a se mover no sentido do referencial até passar pela origem.
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