Exercice Résolu sur les Mouvement Unidimensionnel

FISICAEXE

Un motard se déplace dans la direction opposée à l'orientation de la trajectoire. Sa vitesse initiale, en module, est de 25 m/s et à l'instant initial sa position est de −150 m. La moto subit une décélération, en module, de 2 m/s². Déterminer:
a) La équation horaire du mouvement de ce motard;
b) La équation horaire de la vitesse;
c) L'instant où il passe par l'origine;
d) L'instant où sa vitesse est nulle.

Données du problème:

Module de la vitesse initiale du motard: |v₀| = 25 m/s;
Module de l'accélération du motard: |a| = 2 m/s²;
Position à l'instant initial: S₀ = −150 m.

Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel avec une orientation positive vers la droite.

Figure 1

Solution:

a) Le motard a une accélération, il est en Mouvement Rectiligne Uniformément Varié, donné par

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}\;t^2} \end{gather} \]

la position initiale est donnée dans le problème, S₀ = −150 m, comme le motard se déplace dans la direction opposée à l'orientation de la trajectoire, sa vitesse est négative, (v<0), nous avons v = −25 m/s. Le motard est en décélération, son accélération est opposée à l'orientation de la vitesse (a>0), nous avons a= 2 m/s². La équation horaire sera

\[ \begin{gather} S=-150-25t+\frac{2}{2}\;t^2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {S=-150-25t+t^2} \end{gather} \]

b) Pour la fonction horaire de la vitesse, nous voulons trouver une fonction du type

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {v=v_0+at} \end{gather} \]

en utilisant les données du problème, nous obtenons

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {v=-25t+2t} \end{gather} \]

c) Lorsque le motard passe par l'origine, nous avons S = 0 en remplaçant cette valeur dans l'expression trouvée dans la partie (a)

\[ \begin{gather} 0=-150-25\;t+t^2 \end{gather} \]

C'est une Équation du Second Degré, où l'inconnue est la valeur du temps que nous voulons trouver.

Solution de l'Équation du Second Degré \( t^2-25\;t-150=0 \)

\[ \begin{gather} \Delta =b^2-4ac=(-25)^2-4\times 1\times(-150)=625+600=1225\\[10pt] t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-25)\pm \sqrt{1225\;}}{2\times 1}=\frac{25\pm 35}{2} \end{gather} \]

les deux racines de l'équation seront

\[ \begin{gather} t_1=30\;\mathrm s\qquad \mathrm{e}\qquad t_2=-5\;\mathrm s \end{gather} \]

Comme il n'existe pas de temps négatif, nous négligeons la deuxième racine. Il passe par l'origine à t = 30 s (il commence le mouvement à gauche de l'origine, sa vitesse diminue en raison de la décélération jusqu'à devenir nulle, puis change de direction et commence à se déplacer dans le sens du référentiel jusqu'à passer par l'origine).

d) Lorsque la vitesse de la moto s'annule, nous avons v = 0, en remplaçant cette valeur dans l'expression trouvée dans la partie (b)

\[ \begin{gather} 0=-25+2t \\[5pt] 2t=25 \\[5pt] t=\frac{25}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=12,5\;\mathrm s} \end{gather} \]

C'est le moment où le motard change de direction et commence à se déplacer dans le sens du référentiel jusqu'à passer par l'origine.