Exercice Résolu sur les Mouvement Unidimensionnel
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Un motard se déplace dans la direction opposée à l'orientation de la trajectoire. Sa vitesse initiale, en module, est de 25 m/s et à l'instant initial sa position est de −150 m. La moto subit une décélération, en module, de 2 m/s2. Déterminer:
a) La équation horaire du mouvement de ce motard;
b) La équation horaire de la vitesse;
c) L'instant où il passe par l'origine;
d) L'instant où sa vitesse est nulle.


Données du problème:
  • Module de la vitesse initiale du motard:    |v0| = 25 m/s;
  • Module de l'accélération du motard:    |a| = 2 m/s2;
  • Position à l'instant initial:    S0 = −150 m.
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel avec une orientation positive vers la droite.

Figure 1

Solution

a) Le motard a une accélération, il est en Mouvement Rectiligne Uniformément Varié, donné par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}\;t^2} \end{gather} \]
la position initiale est donnée dans le problème, S0 = −150 m, comme le motard se déplace dans la direction opposée à l'orientation de la trajectoire, sa vitesse est négative, (v<0), nous avons v = −25 m/s, le motard est en décélération, son accélération est opposée à l'orientation de la vitesse (a>0), nous avons a= 2 m/s2. La équation horaire sera
\[ \begin{gather} S=-150-25t+\frac{2}{2}\;t^2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S=-150-25t+t^2} \end{gather} \]

b) Pour la fonction horaire de la vitesse, nous voulons trouver une fonction du type
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+at} \end{gather} \]
en utilisant les données du problème, nous obtenons
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=-25t+2t} \end{gather} \]

c) Lorsque le motard passe par l'origine, nous avons S = 0 en remplaçant cette valeur dans l'expression trouvée dans la partie (a) no item (a)
\[ \begin{gather} 0=-150-25\;t+t^2 \end{gather} \]
C'est une Équation du Second Degré, où l'inconnue est la valeur du temps que nous voulons trouver.

Solution de l'Équation du Second Degré   \( t^2-25\;t-150=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta =b^2-4ac=(-25)^2-4\times 1\times(-150)=625+600=1225\\[10pt] t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-25)\pm \sqrt{1225\;}}{2\times 1}=\frac{25\pm 35}{2} \end{gather} \]
les deux racines de l'équation seront
\[ \begin{gather} t_{1}=30\;\mathrm s\qquad \mathrm{e}\qquad t_2=-5\;\mathrm s \end{gather} \]

Comme il n'existe pas de temps négatif, nous négligeons la deuxième racine. Il passe par l'origine à t = 30 s (il commence le mouvement à gauche de l'origine, sa vitesse diminue en raison de la décélération jusqu'à devenir nulle, puis change de direction et commence à se déplacer dans le sens du référentiel jusqu'à passer par l'origine).

d) Lorsque la vitesse de la moto s'annule, nous avons v = 0, en remplaçant cette valeur dans l'expression trouvée dans la partie (b)
\[ \begin{gather} 0=-25+2t\\[5pt] 2t=25\\[5pt] t=\frac{25}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=12,5\;\mathrm s} \end{gather} \]
C'est le moment où le motard change de direction et commence à se déplacer dans le sens du référentiel jusqu'à passer par l'origine.
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