Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Unidimensional
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Un motociclista se mueve en dirección opuesta a la orientación de la trayectoria, su velocidad inicial, en módulo, es de 25 m/s y en el instante inicial su posición es de −150 m, la motocicleta está experimentando una desaceleración, en módulo, de 2 m/s2. Determinar:
a) La ecuación horaria del movimiento de este motociclista;
b) La ecuación horaria de la velocidad;
c) El instante en que pasa por el origen;
d) El instante en que su velocidad es nula.


Datos del problema:
  • Módulo de la velocidad inicial del motociclista:    |v0| = 25 m/s;
  • Módulo de la aceleración del motociclista:    |a| = 2 m/s2;
  • Posición en el instante inicial:    S0 = −150 m.
Esquema del problema:

Tomamos un sistema de referencia con sentido positivo orientado hacia la derecha.

Figura 1

Solución

a) El motociclista tiene una aceleración, está en Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV), dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}\;t^2} \end{gather} \]
la posición inicial se da en el problema, S0 = −150 m, como el motociclista se mueve en dirección opuesta a la orientación de la trayectoria, su velocidad es negativa, (v<0), tenemos v = −25 m/s, el motociclista está desacelerando, su aceleración está en contra de la orientación de la velocidad (a>0), entonces a= 2 m/s2. La ecuación horaria será
\[ \begin{gather} S=-150-25t+\frac{2}{2}\;t^2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S=-150-25t+t^2} \end{gather} \]

b) Para la ecuación horaria de la velocidad queremos encontrar una función del tipo
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+at} \end{gather} \]
Usando los datos del problema, obtenemos
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=-25t+2t} \end{gather} \]

c) Cuando el motociclista pasa por el origen, tenemos S = 0. Al sustituir este valor en la expresión encontrada en el ítem (a)
\[ \begin{gather} 0=-150-25\;t+t^2 \end{gather} \]
Esta es una Ecuación de Segundo Grado, donde la incógnita es el valor del tiempo que queremos encontrar.

Solución de la Ecuación de Segundo Grado    \( t^2-25\;t-150=0 \)
\[ \begin{gather} \Delta =b^2-4ac=(-25)^2-4\times 1\times(-150)=625+600=1225\\[10pt] t=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta \;}}{2a}=\frac{-(-25)\pm \sqrt{1225\;}}{2\times 1}=\frac{25\pm 35}{2} \end{gather} \]
las dos raíces de la ecuación serán
\[ \begin{gather} t_{1}=30\;\mathrm s\qquad \mathrm{e}\qquad t_2=-5\;\mathrm s \end{gather} \]

Como no existe tiempo negativo, despreciamos la segunda raíz. Pasará por el origen en t = 30 s (comienza el movimiento a la izquierda del origen, su velocidad disminuye debido a la desaceleración hasta llegar a cero, luego cambia de sentido y comienza a moverse en dirección al referencial hasta pasar por el origen).

d) Cuando la velocidad de la moto se anula, tenemos v = 0. Al sustituir este valor en la expresión encontrada en el ítem (b)
\[ \begin{gather} 0=-25+2t\\[5pt] 2t=25\\[5pt] t=\frac{25}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=12,5\;\mathrm s} \end{gather} \]
Este es el instante en que el motociclista cambia de sentido y comienza a moverse en dirección al referencial hasta pasar por el origen.
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