Un anello di raggio a è caricato uniformemente con una carica q1 in una delle metà
dell’anello e un’altra carica q2 nell’altra metà. Calcolare il vettore campo elettrico in un
punto P sull’asse di simmetria perpendicolare al piano dell’anello a una distanza z dal suo centro.
Dati del problema:
- Raggio dell’anello: a;
- Carica di una metà dell’anello: q1;
- Carica dell’altra metà dell’anello: q2;
- Distanza dal punto in cui si vuole il campo elettrico: z.
Soluzione:
- Per la metà dell’anello con carica q1 tra 0 e π.
Il vettore posizione r1 va da un elemento di carica dell’anello dq1 fino al punto
P dove si desidera calcolare il campo elettrico, il vettore rq localizza l’elemento
di carica rispetto all’origine del sistema di riferimento e il vettore rp localizza il
punto P (Figura 1-A).
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_1={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Dalla geometria del problema, dobbiamo scegliere coordinate cilindriche (Figura 1-B), il vettore
rq, che si trova nel piano xy, è scritto come
\( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \)
e il vettore rp possiede soltanto la componente nella direzione k,
\( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \),
il vettore posizione sarà
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_1=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right) \\[5pt]
{\mathbf r}_1=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{I}
\end{gather}
\]
Dall’equazione (I), il modulo del vettore posizione r1 sarà
\[
\begin{gather}
r_1^2=(-x)^2+(-y)^2+z^2 \\[5pt]
r_1=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2} \tag{II}
\end{gather}
\]
dove x, y e z, in coordinate cilindriche, sono dati da
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta \\
y=a\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{III}
\end{gather}
\]
Il vettore campo elettrico di questa metà dell’anello è dato da
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_1}{r^2}\frac{{\mathbf r}}{r}} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_1}{r^{3}}{\mathbf r}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Dall’equazione della densità lineare di carica λ1 otteniamo l’elemento di carica
dq1.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda_1=\frac{dq_1}{ds_1} \\[5pt]
dq_1=\lambda_1\;ds_1 \tag{V}
\end{gather}
\]
dove ds1 è un elemento di arco di angolo dθ1 dell’anello (Figura 2).
\[
\begin{gather}
ds_1=a\;d\theta_1 \tag{VI}
\end{gather}
\]
sostituendo l'equazione (VI) nell'equazione (V).
\[
\begin{gather}
dq_1=\lambda_1a\;d\theta_1 \tag{VII}
\end{gather}
\]
Sostituendo le equazioni (I), (II) e (VII) nell'equazione (IV).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left(x^2+y^2+z^2\;\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
sostituendo le equazioni (III) nell'equazione (VIII).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[\left(a\cos\theta_1\right)^2+\left(a\operatorname{sen}\theta_1\right)^2+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[a^2\cos^2\theta_1+a^2\operatorname{sen}^2\theta_1+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[a^2\underbrace{\left(\cos^2\theta_1+\operatorname{sen}^2\theta_1\right)}_1+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
La densità di carica λ1 e il raggio a sono costanti, possono uscire dall’integrale,
l’integrale della somma è uguale alla somma degli integrali.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\cos\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf i-a\int\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf j+z\int\;d\theta_1\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
I limiti di integrazione, per questa metà dell’anello, saranno 0 e π (mezzo giro - Figura 2).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\;\right)^{3/2}}\left(-a\int_0^{\pi}\cos\theta _1\;d\theta_1\;\mathbf i-a\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf j+z\int_0^{\pi}\;d\theta_1\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integrale di
\( \displaystyle \int_0^{\pi }\cos\theta_1\;d\theta_1 \)
1.º metodo
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\cos\theta_1\;d\theta_1 &=\left.\operatorname{sen}\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\operatorname{sen}\pi -\operatorname{sen}0=\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º metodo
Il grafico del coseno tra 0 e π possiede un’area “positiva” sopra l’asse-x, tra 0 e
\( \frac{\pi}{2} \),
e un’area “negativa” sotto l’asse-x, tra
\( \frac{\pi}{2} \)
e π, queste due aree si annullano nel calcolo dell’integrale, quindi il valore dell’integrale è zero
(Figura 3).
Integrale di
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1 \)
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1 &=\left.-\cos\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi }=-(\cos\pi -\cos 0) \\
&=-(-1-1)=-(-2)=2
\end{align}
\]
Integrale di
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\;d\theta_1 \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{\pi}\;d\theta_1=\left.\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\pi -0=\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\times 0\;\mathbf i-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
- Per la metà dell’anello con carica q2 tra π e 2π.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_2}{r^{3}}\;{\mathbf r}} \tag{X}
\end{gather}
\]
Dall’equazione della densità lineare di carica (V), otteniamo l’elemento di carica dq2.
\[
\begin{gather}
dq_2=\lambda_2\;ds_2 \tag{XI}
\end{gather}
\]
sostituendo le equazioni (I), (II) e (XI) nell’equazione (X), otteniamo un’equazione simile all’equazione (VIII).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_2a\;d\theta_2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{XII}
\end{gather}
\]
sostituendo le equazioni (III) nell’equazione (XII), e dopo le stesse manipolazioni algebriche.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\cos\theta_2\;d\theta_{\;2}\;\mathbf i-a\int\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf j+z\int\;d\theta_2\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
I limiti di integrazione, per questa metà dell’anello, saranno π e 2π (mezzo giro - Figura 5).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf i-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf j+z\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integrale di
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2 \)
1.º metodo
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2 &=\left.\operatorname{sen}\theta_2\;\right|_{\;\pi }^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi -\operatorname{sen}\pi =\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º metodo
Il grafico del coseno tra π e 2π possiede un’area "negativa" sotto l’asse-x, tra π e
\( \frac{3\pi}{2} \),
e un’area "positiva" sopra l’asse-x, tra
\( \frac{3\pi}{2} \)
e 2π, queste due aree si annullano nel calcolo dell’integrale, quindi il valore dell’integrale è zero
(Figura 6).
Integrale di
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2 \)
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2 &=\left.-\cos\theta_2\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi-\cos\pi)=\\
&=-[1-(-1)]=-(2)=-2
\end{align}
\]
Integrale di
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2 \)
\[
\begin{gather}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2=\left.\theta_2\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=2\pi -\pi =\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[-a\times 0\;\mathbf i-(-2)a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right] \\[5pt]
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Il vettore campo elettrico totale sarà dato dalla somma delle equazioni (IX) e (XIII).
\[
\begin{gather}
\mathbf E={\mathbf E}_1+{\mathbf E}_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)+\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\lambda_1\;\mathbf j+\pi z\lambda_1\;\mathbf k+2a\lambda_2\;\mathbf j+\pi z\lambda_2\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[2a\left(\lambda_2-\lambda_1\right)\;\mathbf j+\pi z\left(\;\lambda_1+\lambda_2\right)\;\mathbf k\right] \tag{XIV}
\end{gather}
\]
La carica totale di ciascuna metà dell’anello sono q1 e q2 e le loro lunghezze
sono πa, quindi la densità lineare di carica di ciascuna metà sarà
\[
\begin{gather}
\lambda_1=\frac{q_1}{\pi a}\qquad \text{e}\qquad \lambda_2=\frac{q_2}{\pi a}
\end{gather}
\]
sostituendo queste equazioni nell’equazione (XIV).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[2a\left(\frac{q_2}{\pi a}-\frac{q_1}{\pi a}\right)\;\mathbf j+\pi z\left(\frac{q_1}{\pi a}+\frac{q_2}{\pi a}\right)\;\mathbf{\text{k}}\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2\cancel{a}}{\pi \cancel{a}}\left(q_2-q_1\right)\;\mathbf j+\frac{\cancel{\pi} z}{\cancel{\pi} a}\left(q_1+q_2\right)\;\mathbf k\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\left(q_2-q_1\right)\;\mathbf j+\frac{z}{a}\left(q_1+q_2\right)\;\mathbf k\right]}
\end{gather}
\]
Osservazione: Se la carica
q1 è maggiore della carica
q2, il
termine nella direzione
j sarà negativo
\( q_2-q_1<0 \)
e il vettore campo elettrico sarà inclinato verso −
j (Figura 8-A). Se la carica
q1
è minore della carica
q2, il termine nella direzione
j sarà positivo e il vettore campo
elettrico sarà inclinato verso +
j (Figura 8-B). Se le cariche
q1 e
q2
sono uguali
\( q_2-q_1>0 \),
ciascuna metà dell’anello possiede carica
\( \frac{Q}{2} \),
allora nell’equazione del vettore campo elettrico
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}-\frac{Q}{2}\right)}_0\;\mathbf j+\frac{z}{a}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}+\frac{Q}{2}\right)}_{Q}\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\times 0\;\mathbf j+\frac{z}{a}Q\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\cancel{a}}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\frac{z}{\cancel{a}}Q\;\mathbf k\\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\;\mathbf k
\end{gather}
\]
questo è il vettore campo elettrico di un anello uniformemente caricato (Figura 8-C).
DE
EN
ES
FR
PT-BR
