Um aro de raio a está carregado uniformemente com uma carga q1 numa das metades
do aro e outra carga q2 na outra metade. Calcule o vetor campo elétrico num ponto
P sobre o eixo de simetria perpendicular ao plano do aro a uma distância z do seu centro.
Dados do problema:
- Raio do aro: a;
- Carga de uma metade do aro: q1;
- Carga da outra metade do aro: q2;
- Distância ao ponto onde se quer o campo elétrico: z.
Solução:
- Para a metade do aro com carga q1 entre 0 e π.
O vetor posição r1 vai de um elemento de carga do aro dq1 até o ponto
P onde se deseja calcular o campo elétrico, o vetor rq localiza o elemento
de carga em relação à origem do referencial e o vetor rp localiza o ponto P
(Figura 1-A).
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_1={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Pela geometria do problema, devemos escolher coordenadas cilíndricas (Figura 1-B), o vetor
rq, que está no plano xy, é escrito como
\( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \)
e o vetor rp só possui componente na direção k,
\( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \),
o vetor posição será
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_1=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right) \\[5pt]
{\mathbf r}_1=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{I}
\end{gather}
\]
Da equação (I), o módulo do vetor posição r1 será
\[
\begin{gather}
r_1^2=(-x)^2+(-y)^2+z^2 \\[5pt]
r_1=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2} \tag{II}
\end{gather}
\]
onde x, y e z, em coordenadas cilíndricas, são dados por
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta \\
y=a\operatorname{sen}\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{III}
\end{gather}
\]
O vetor campo elétrico desta metade do aro é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_1}{r^2}\frac{{\mathbf r}}{r}} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_1}{r^{3}}{\mathbf r}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Da equação da densidade linear de carga λ1 obtemos o elemento de carga
dq1.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda_1=\frac{dq_1}{ds_1} \\[5pt]
dq_1=\lambda_1\;ds_1 \tag{V}
\end{gather}
\]
onde ds1 é um elemento de arco de ângulo dθ1 do aro (Figura 2).
\[
\begin{gather}
ds_1=a\;d\theta_1 \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo a equação (VI) na equação (V).
\[
\begin{gather}
dq_1=\lambda_1a\;d\theta_1 \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as equações (I), (II) e (VII) na equação (IV).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left(x^2+y^2+z^2\;\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações de (III) na equação (VIII).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[\left(a\cos\theta_1\right)^2+\left(a\operatorname{sen}\theta_1\right)^2+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[a^2\cos^2\theta_1+a^2\operatorname{sen}^2\theta_1+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[a^2\underbrace{\left(\cos^2\theta_1+\operatorname{sen}^2\theta_1\right)}_1+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\cos \theta_1\;\mathbf i-a\operatorname{sen}\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
A densidade de carga λ1 e o raio a são constantes eles podem “sair” da
integral, e a integral da soma é igual à soma das integrais.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\cos\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf i-a\int\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf j+z\int\;d\theta_1\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração, para esta metade do aro, serão 0 e π (meia volta - Figura 2).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\;\right)^{3/2}}\left(-a\int_0^{\pi}\cos\theta _1\;d\theta_1\;\mathbf i-a\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf j+z\int_0^{\pi}\;d\theta_1\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{\pi }\cos\theta_1\;d\theta_1 \)
1.º método
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\cos\theta_1\;d\theta_1 &=\left.\operatorname{sen}\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\operatorname{sen}\pi -\operatorname{sen}0=\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico de cosseno entre 0 e π possui uma área “positiva” acima do eixo-x, entre 0 e
\( \frac{\pi}{2} \),
e uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre
\( \frac{\pi}{2} \)
e π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 3).
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1 \)
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\operatorname{sen}\theta_1\;d\theta_1 &=\left.-\cos\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi }=-(\cos\pi -\cos 0) \\
&=-(-1-1)=-(-2)=2
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\;d\theta_1 \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{\pi}\;d\theta_1=\left.\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\pi -0=\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\times 0\;\mathbf i-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
- Para a metade do aro com carga q2 entre π e 2π.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_2}{r^{3}}\;{\mathbf r}} \tag{X}
\end{gather}
\]
Da equação da densidade linear de carga (V), obtemos o elemento de carga dq2.
\[
\begin{gather}
dq_2=\lambda_2\;ds_2 \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (I), (II) e (XI) na equação (X), temos uma equação semelhante à equação
(VIII).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_2a\;d\theta_2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações de (III) na equação (XII), e após as mesmas manipulações algébricas.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\cos\theta_2\;d\theta_{\;2}\;\mathbf i-a\int\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf j+z\int\;d\theta_2\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Os limites de integração, para esta metade do aro, serão π e 2π (meia volta - Figura 5)
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf i-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf j+z\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2 \)
1.º método
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2 &=\left.\operatorname{sen}\theta_2\;\right|_{\;\pi }^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi -\operatorname{sen}\pi =\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2.º método
O gráfico de cosseno entre π e 2π possui uma área “negativa” abaixo do eixo-x, entre
π e
\( \frac{3\pi}{2} \),
e uma área “positiva” acima do eixo-x, entre
\( \frac{3\pi}{2} \)
e 2π, estas duas áreas se cancelam no cálculo da integral, sendo o valor da integral zero (Figura 6).
Integral de
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2 \)
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\operatorname{sen}\theta_2\;d\theta_2 &=\left.-\cos\theta_2\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi-\cos\pi)=\\
&=-[1-(-1)]=-(2)=-2
\end{align}
\]
Integral de
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2 \)
\[
\begin{gather}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2=\left.\theta_2\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=2\pi -\pi =\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[-a\times 0\;\mathbf i-(-2)a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right] \\[5pt]
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
O vetor campo elétrico total será dado pela soma das equações (IX) e (XIII).
\[
\begin{gather}
\mathbf E={\mathbf E}_1+{\mathbf E}_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)+\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\lambda_1\;\mathbf j+\pi z\lambda_1\;\mathbf k+2a\lambda_2\;\mathbf j+\pi z\lambda_2\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[2a\left(\lambda_2-\lambda_1\right)\;\mathbf j+\pi z\left(\;\lambda_1+\lambda_2\right)\;\mathbf k\right] \tag{XIV}
\end{gather}
\]
A carga total de cada metade do aro são q1 e q2 e os seus comprimentos
são πa, assim a densidade linear de carga de cada metade será
\[
\begin{gather}
\lambda_1=\frac{q_1}{\pi a}\qquad \text{e}\qquad \lambda_2=\frac{q_2}{\pi a}
\end{gather}
\]
substituindo estas equações na equação (XIV).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[2a\left(\frac{q_2}{\pi a}-\frac{q_1}{\pi a}\right)\;\mathbf j+\pi z\left(\frac{q_1}{\pi a}+\frac{q_2}{\pi a}\right)\;\mathbf{\text{k}}\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2\cancel{a}}{\pi \cancel{a}}\left(q_2-q_1\right)\;\mathbf j+\frac{\cancel{\pi} z}{\cancel{\pi} a}\left(q_1+q_2\right)\;\mathbf k\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\left(q_2-q_1\right)\;\mathbf j+\frac{z}{a}\left(q_1+q_2\right)\;\mathbf k\right]}
\end{gather}
\]
Observação: Se a carga
q1 for maior que a carga
q2, o
termo na direção
j será negativo
\( q_2-q_1<0 \)
e o vetor campo elétrico estará inclinado para o −
j (Figura 8-A). Se a carga
q1 for menor que a carga
q2, o termo na direção
j será positivo,
\( q_2-q_1>0 \),
e o vetor campo elétrico estará inclinado para o +
j (Figura 8-B). Se as cargas
q1
e
q2 forem iguais
\( \left(q_1=q_2=\frac{Q}{2}\right) \),
cada metade do aro possui carga
\( \frac{Q}{2} \),
então na equação vetor campo elétrico
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}-\frac{Q}{2}\right)}_0\;\mathbf j+\frac{z}{a}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}+\frac{Q}{2}\right)}_{Q}\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\times 0\;\mathbf j+\frac{z}{a}Q\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\cancel{a}}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\frac{z}{\cancel{a}}Q\;\mathbf k\\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\;\mathbf k
\end{gather}
\]
esse é o vetor campo elétrico de um aro uniformemente carregado (Figura 8-C).
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