Un anneau de rayon a est uniformément chargé avec une charge q1 sur une des moitiés de
l’anneau et une autre charge q2 sur l’autre moitié. Calculez le vecteur champ électrique en un
point P situé sur l’axe de symétrie perpendiculaire au plan de l’anneau à une distance z de son centre.
Données du problème:
- Rayon de l’anneau: a;
- Charge d’une moitié de l’anneau: q1;
- Charge de l’autre moitié de l’anneau: q2;
- Distance jusqu’au point où l’on veut le champ électrique: z.
Solution:
- Pour la moitié de l’anneau avec la charge q1 entre 0 e π.
Le vecteur position r1 va d’un élément de charge de l’anneau dq1 jusqu’au point
P où l’on souhaite calculer le champ électrique, le vecteur rq localise l’élément
de charge par rapport à l’origine du référentiel et le vecteur rp localise le point P
(Figure 1-A).
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_1={\mathbf r}_p-{\mathbf r}_q
\end{gather}
\]
Par la géométrie du problème, nous devons choisir des coordonnées cylindriques (Figure 1-B), le vecteur
rq, qui est dans le plan xy, s’écrit comme
\( {\mathbf r}_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \)
et le vecteur rp possède seulement une composante dans la direction k,
\( {\mathbf r}_p=z\;\mathbf k \),
le vecteur position sera
\[
\begin{gather}
{\mathbf r}_1=z\;\mathbf k-\left(x\;\mathbf i+y\;\mathbf j\right) \\[5pt]
{\mathbf r}_1=-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \tag{I}
\end{gather}
\]
D’après l’équation (I), le module du vecteur position r1 sera
\[
\begin{gather}
r_1^2=(-x)^2+(-y)^2+z^2 \\[5pt]
r_1=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2} \tag{II}
\end{gather}
\]
où x, y et z, en coordonnées cylindriques, sont donnés par
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos\theta \\
y=a\sin\theta \\
z=z
\end{array}
\right. \tag{III}
\end{gather}
\]
Le vecteur champ électrique de cette moitié de l’anneau est donné par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_1}{r^2}\frac{{\mathbf r}}{r}} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_1}{r^{3}}{\mathbf r}} \tag{IV}
\end{gather}
\]
À partir de l’équation de la densité linéaire de charge λ1, nous obtenons l’élément
de charge dq1.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\lambda_1=\frac{dq_1}{ds_1} \\[5pt]
dq_1=\lambda_1\;ds_1 \tag{V}
\end{gather}
\]
où ds1 est un élément d’arc d’angle dθ1 de l’anneau (Figure 2).
\[
\begin{gather}
ds_1=a\;d\theta_1 \tag{VI}
\end{gather}
\]
en remplaçant l'équation (VI) dans l'équation (V).
\[
\begin{gather}
dq_1=\lambda_1a\;d\theta_1 \tag{VII}
\end{gather}
\]
En remplaçant les équations (I), (II) et (VII) dans l’équation (IV).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}\right]^{3}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left(x^2+y^2+z^2\;\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
en remplaçant les équations de (III) dans l’équation (VIII).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[\left(a\cos\theta_1\right)^2+\left(a\sin\theta_1\right)^2+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\sin\theta_1\;\mathbf j+z\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[a^2\cos^2\theta_1+a^2\sin^2\theta_1+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\sin\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left[a^2\underbrace{\left(\cos^2\theta_1+\sin^2\theta_1\right)}_1+z^2\right]^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\sin\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda_1a\;d\theta_1}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\cos\theta_1\;\mathbf i-a\sin\theta_1\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
La densité de charge λ1 et le rayon a sont constants, ils peuvent être sortis de
l'intégrale, et l'intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\cos\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf i-a\int\sin\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf j+z\int\;d\theta_1\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Les limites d’intégration, pour cette moitié de l’anneau, seront 0 et π (demi-tour - Figure 2).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\;\right)^{3/2}}\left(-a\int_0^{\pi}\cos\theta _1\;d\theta_1\;\mathbf i-a\int_0^{\pi}\sin\theta_1\;d\theta_1\;\mathbf j+z\int_0^{\pi}\;d\theta_1\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Intégrale de
\( \displaystyle \int_0^{\pi }\cos\theta_1\;d\theta_1 \)
1ère méthode
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\cos\theta_1\;d\theta_1 &=\left.\sin\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\sin\pi -\sin 0=\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2e méthode
Le graphique du cosinus entre 0 et π possède une aire "positive" au-dessus de l’axe-x, entre 0 et
\( \frac{\pi}{2} \),
et une aire "négative" au-dessous de l’axe-x, entre
\( \frac{\pi}{2} \)
et π, ces deux aires se compensent dans le calcul de l’intégrale, la valeur de l’intégrale étant donc
nulle (Figure 3).
Intégrale de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\sin\theta_1\;d\theta_1 \)
\[
\begin{align}
\int_0^{\pi}\sin\theta_1\;d\theta_1 &=\left.-\cos\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi }=-(\cos\pi -\cos 0) \\
&=-(-1-1)=-(-2)=2
\end{align}
\]
Intégrale de
\( \displaystyle \int_0^{\pi}\;d\theta_1 \)
\[
\begin{gather}
\int_0^{\pi}\;d\theta_1=\left.\theta_1\;\right|_{\;0}^{\;\pi}=\pi -0=\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\times 0\;\mathbf i-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
{\mathbf E}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
- Pour la moitié de l’anneau avec la charge q2 entre π e 2π.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{dq_2}{r^{3}}\;{\mathbf r}} \tag{X}
\end{gather}
\]
À partir de l’équation de la densité linéaire de charge (V), nous obtenons l’élément de charge dq2.
\[
\begin{gather}
dq_2=\lambda_2\;ds_2 \tag{XI}
\end{gather}
\]
en remplaçant les équations (I), (II) et (XI) dans l’équation (X), nous obtenons une équation semblable à
l’équation (VIII).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int{\frac{\lambda_2a\;d\theta_2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(-x\;\mathbf i-y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \tag{XII}
\end{gather}
\]
en remplaçant les équations de (III) dans l’équation (XII), et après les mêmes manipulations algébriques.
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int\cos\theta_2\;d\theta_{\;2}\;\mathbf i-a\int\sin\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf j+z\int\;d\theta_2\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Les limites d’intégration, pour cette moitié de l’anneau, seront π et 2π (demi-tour - Figure 5).
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf i-a\int_{\pi}^{{2\pi}}\sin\theta_2\;d\theta_2\;\mathbf j+z\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Intégrale de
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2 \)
1re méthode
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\cos\theta_2\;d\theta_2 &=\left.\sin\theta_2\;\right|_{\;\pi }^{\;2\pi}=\sin 2\pi -\sin\pi =\\
&=0-0=0
\end{align}
\]
2e méthode
Le graphique du cosinus entre π et 2π possède une aire "négative" au-dessous de l’axe-x, entre
π et
\( \frac{3\pi}{2} \),
et une aire "positive" au-dessus de l’axe-x, entre
\( \frac{3\pi}{2} \)
et 2π, ces deux aires se compensent dans le calcul de l’intégrale, la valeur de l’intégrale étant donc
nulle (Figure 6).
Intégrale de
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\sin\theta_2\;d\theta_2 \)
\[
\begin{align}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\sin\theta_2\;d\theta_2 &=\left.-\cos\theta_2\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi-\cos\pi)=\\
&=-[1-(-1)]=-(2)=-2
\end{align}
\]
Intégrale de
\( \displaystyle \int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2 \)
\[
\begin{gather}
\int_{\pi}^{{2\pi}}\;d\theta_2=\left.\theta_2\;\right|_{\;\pi}^{\;2\pi}=2\pi -\pi =\pi
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[-a\times 0\;\mathbf i-(-2)a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right] \\[5pt]
{\mathbf E}_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
Le vecteur champ électrique total sera donné par la somme des équations (IX) et (XIII).
\[
\begin{gather}
\mathbf E={\mathbf E}_1+{\mathbf E}_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_1a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right)+\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\lambda_2a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(2a\;\mathbf j+\pi z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left(-2a\lambda_1\;\mathbf j+\pi z\lambda_1\;\mathbf k+2a\lambda_2\;\mathbf j+\pi z\lambda_2\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[2a\left(\lambda_2-\lambda_1\right)\;\mathbf j+\pi z\left(\;\lambda_1+\lambda_2\right)\;\mathbf k\right] \tag{XIV}
\end{gather}
\]
La charge totale de chaque moitié de l’anneau est q1 et q2 et leurs longueurs
sont πa, ainsi, la densité linéaire de charge de chaque moitié sera
\[
\begin{gather}
\lambda_1=\frac{q_1}{\pi a}\qquad \text{et}\qquad \lambda_2=\frac{q_2}{\pi a}
\end{gather}
\]
en remplaçant ces équations dans l’équation (XIV).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[2a\left(\frac{q_2}{\pi a}-\frac{q_1}{\pi a}\right)\;\mathbf j+\pi z\left(\frac{q_1}{\pi a}+\frac{q_2}{\pi a}\right)\;\mathbf{\text{k}}\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2\cancel{a}}{\pi \cancel{a}}\left(q_2-q_1\right)\;\mathbf j+\frac{\cancel{\pi} z}{\cancel{\pi} a}\left(q_1+q_2\right)\;\mathbf k\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\left(q_2-q_1\right)\;\mathbf j+\frac{z}{a}\left(q_1+q_2\right)\;\mathbf k\right]}
\end{gather}
\]
Remarque: Si la charge
q1 est supérieure à la charge
q2, le terme
dans la direction
j sera négatif
\( q_2-q_1<0 \)
et le vecteur champ électrique sera incliné vers −
j (Figure 8-A).
Si la charge
q1 est inférieure à la charge
q2, le terme dans la direction
j
sera positif
\( q_2-q_1>0 \),
et le vecteur champ électrique sera incliné vers +
j (Figure 8-B). Si les charges
q1 et
q2 sont égales
\( \left(q_1=q_2=\frac{Q}{2}\right) \),
chaque moitié de l’anneau possède une charge
\( \frac{Q}{2} \),
alors dans l’équation du vecteur champ électrique
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}-\frac{Q}{2}\right)}_0\;\mathbf j+\frac{z}{a}\underbrace{\left(\frac{Q}{2}+\frac{Q}{2}\right)}_{Q}\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{a}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\left[\frac{2}{\pi}\times 0\;\mathbf j+\frac{z}{a}Q\;\mathbf k\right] \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\cancel{a}}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\frac{z}{\cancel{a}}Q\;\mathbf k\\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\;\mathbf k
\end{gather}
\]
ceci est le vecteur champ électrique d’un anneau uniformément chargé (Figure 8-C).
DE
EN
ES
IT
PT-BR
