Esercizio Risolto di Lavoro ed Energia
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Per estrarre acqua da un pozzo, si utilizza una pompa di potenza utile 3675 W; la profondità del pozzo è 30 m. Calcolare il volume d’acqua che può essere estratto in 24 h. La massa specifica dell’acqua è 1000 kg/m3.

 

Dati del problema:

  • Potenza della pompa:    \( \mathscr P \) = 3675 W;
  • Profondità del pozzo:    h = 30 m;
  • Intervallo di tempo di funzionamento della pompa:    Δ t = 24 h;
  • Densità dell’acqua:    ρ = 1000 kg/m3;
  • Accelerazione di gravità:    g = 9,8 m/s2.

Schema del problema:

Scegliamo un Livello di Riferimento (NR) sulla superficie dell’acqua del pozzo (Figura 1).
Figura 1

Soluzione:

Innanzitutto, dobbiamo convertire l’intervallo di tempo dato in ore (h) in secondi (s) usati nel Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI).

\[ \begin{gather} \Delta t=24\;\mathrm{\cancel h}\times\;\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=86400\;\mathrm s \end{gather} \]

La potenza è data dalla variazione dell’energia per unità di tempo.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr P =\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]

La variazione dell’energia totale sarà quella data dalla variazione dell’energia potenziale.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E=E_{p f}-E_{p i}} \tag{II} \end{gather} \]

l’energia potenziale è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgh} \tag{III} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (III) nell’equazione (II), la variazione dell’energia potenziale quando la massa d’acqua viene portata dal fondo del pozzo (livello di riferimento, h0 = 0) fino alla superficie sarà

\[ \begin{gather} \Delta E=mgh-mgh_0 \\[5pt] \Delta E=mgh-mg\times 0 \\[5pt] \Delta E=mgh \tag{IV} \end{gather} \]

sostituendo l’equazione (IV) nell’equazione (I)

\[ \begin{gather} \mathscr P =\frac{mgh}{\Delta t} \\[5pt] m=\frac{\mathscr P \Delta t}{gh} \\[5pt] m=\frac{3675\times 86400}{9,8\times 30} \\[5pt] m=1080000\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

La densità è data da

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\rho =\frac{m}{V}} \end{gather} \]

Il volume d’acqua estratto sarà

\[ \begin{gather} V=\frac{m}{\rho} \\[5pt] V=\frac{1080000}{1000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=1080\;\mathrm m^3} \end{gather} \]
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