Gelöste Übungen zu Arbeit und Energie
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Um Wasser aus einem Brunnen zu fördern, wird eine Pumpe mit einer Nutzleistung von 3675 W verwendet, die Tiefe des Brunnens beträgt 30 m. Berechnen Sie das Wasservolumen, das in 24 h gefördert werden kann. Die Dichte des Wassers beträgt 1000 kg/m3.

 

Gegebene Daten:

  • Leistung der Pumpe:    \( \mathscr P \) = 3675 W;
  • Tiefe des Brunnens:    h = 30 m;
  • Betriebszeitintervall der Pumpe:    Δ t = 24 h;
  • Dichte des Wassers:    ρ = 1000 kg/m3;
  • Erdbeschleunigung:    g = 9,8 m/s2.

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem, bei dem das NullNiveau (NN) an der Wasseroberfläche des Brunnens liegt (Abbildung 1).
Abb. 1

Lösung:

Zuerst müssen wir das im Problem angegebene Zeitintervall in Stunden (h) in Sekunden (s) umrechnen, wie es im Internationalen Einheitensystem (SI) üblich ist.

\[ \begin{gather} \Delta t=24\;\mathrm{\cancel h}\times\;\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=86400\;\mathrm s \end{gather} \]

Die Leistung ist gegeben durch die Änderung der Energie pro Zeiteinheit.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr P =\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]

Die Änderung der Gesamtenergie ist gegeben durch die Änderung der potenziellen Energie.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E=E_{p f}-E_{p i}} \tag{II} \end{gather} \]

die potenzielle Energie ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgh} \tag{III} \end{gather} \]

einsetzen der Gleichung (III) in die Gleichung (II), ist die Änderung der potenziellen Energie, wenn die Wassermasse vom Boden des Brunnens (Referenzniveau, h0 = 0) bis zur Oberfläche gehoben wird

\[ \begin{gather} \Delta E=mgh-mgh_0 \\[5pt] \Delta E=mgh-mg\times 0 \\[5pt] \Delta E=mgh \tag{IV} \end{gather} \]

einsetzen der Gleichung (IV) in die Gleichung (I)

\[ \begin{gather} \mathscr P =\frac{mgh}{\Delta t} \\[5pt] m=\frac{\mathscr P \Delta t}{gh} \\[5pt] m=\frac{3675\times 86400}{9,8\times 30} \\[5pt] m=1080000\;\mathrm{kg} \end{gather} \]

Die Dichte ist gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\rho =\frac{m}{V}} \end{gather} \]

Das entnommene Wasservolumen wird sein

\[ \begin{gather} V=\frac{m}{\rho} \\[5pt] V=\frac{1080000}{1000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=1080\;\mathrm m^3} \end{gather} \]
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