Ejercicio Resuelto sobre Trabajo y Energía
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Para sacar agua de un pozo se utiliza una bomba de potencia útil de 3675 W, la profundidad del pozo es de 30 m. Calcular el volumen de agua que puede ser extraído en 24 h. La densidad del agua es de 1000 kg/m3.


Datos del problema:
  • Potencia de la bomba:    \( \mathscr{P} \) = 3675 W;
  • Profundidad del pozo:    h = 30 m;
  • Intervalo de tiempo de operación de la bomba:    Δ t = 24 h;
  • Densidad del agua:    μ = 1000 kg/m3;
  • Aceleración de la gravedad:    g = 9,8 m/s2.
Esquema del problema:

Tomamos un Nivel de Referencia (NR) en la superficie del agua del pozo (Figura 1).
Figura 1

Solución

Primero, debemos convertir el intervalo de tiempo dado en horas (h) a segundos (s) que se utiliza en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[ \begin{gather} \Delta t=24\;\mathrm{\cancel{h}}\times\;\frac{60\;\mathrm{\cancel{min}}}{1\;\mathrm{\cancel h}}\times\frac{60\;\mathrm s}{1\;\mathrm{\cancel{min}}}=86400\;\mathrm s \end{gather} \]
La potencia se define como la variación de la energía por unidad de tiempo
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mathscr{P} =\frac{\Delta E}{\Delta t}} \tag{I} \end{gather} \]
La variación de la energía total será igual a la variación de la energía potencial
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\Delta E=E_{p f}-E_{p i}} \tag{II} \end{gather} \]
la energía potencial es dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E_p=mgh} \tag{III} \end{gather} \]
sustituyendo la ecuación (III) en la ecuación (II), la variación de la energía potencial cuando la masa de agua es llevada desde el fondo del pozo (nivel de referencia, h0 = 0) hasta la superficie será
\[ \begin{gather} \Delta E=mgh-mgh_0\\[5pt] \Delta E=mgh-mg\times 0\\[5pt] \Delta E=mgh \tag{IV} \end{gather} \]
sustituyendo la ecuación (IV) en la ecuación (I)
\[ \begin{gather} \mathscr{P} =\frac{mgh}{\Delta t}\\[5pt] m=\frac{\mathscr{P} \Delta t}{gh}\\[5pt] m=\frac{3675\times 86400}{9,8\times 30}\\[5pt] m=1080000\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
la densidad es dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\mu =\frac{m}{V}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} V=\frac{m}{\mu}\\[5pt] V=\frac{1080000}{1000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=1080\;\mathrm m^3} \end{gather} \]
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