Exercice Résolu sur les Vecteurs
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Les composantes d'un vecteur sont vx=−8 y vy=6. Quelle sont le module et la direction de ce vecteur?


Données du problème:
  • Composante du vecteur dans la direction x:    vx=−8;
  • Composante du vecteur dans la direction y:    vy=6.
Solution:

Le module du vecteur est donné par (Figure 1)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^2=v_x^2+v_y^2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v^2=(-8)^2+6^2\\[5pt] v=\sqrt{64+36\;}\\[5pt] v=\sqrt{100\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=10} \end{gather} \]
Figure 1

La direction est donnée par (Figure 2)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\theta=\arctan\frac{v_y}{v_x}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \theta=\arctan\frac{6}{-8} \end{gather} \]
comme arctan est une fonction impaire,   \( f(-x)=-f(x) \)
Figure 2

\[ \begin{gather} \theta=-\arctan\frac{6}{8}\\[5pt] \theta=-36,9° \end{gather} \]
comme la valeur de vx est négative, nous ajoutons 180°
\[ \begin{gather} \theta=-36,9°+180° \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta=143,1°} \end{gather} \]
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