Exercice Résolu sur les Statique
publicité   



Deux sphères identiques, A et B, sont placées dans une boîte. La ligne reliant le centre des deux sphères forme un angle de 45° avec l'horizontale, et la force de réaction exercée par le fond de la boîte sur la sphère B est de 25 N. Déterminer la force de réaction que la boîte exerce sur les sphères aux points de contact entre les sphères et la boîte, et la force que la sphère A exerce sur la sphère B.


Données du problème:
  • Force de réaction du fond de la boîte sur la sphère B:    FR = 25 N;
  • Angle entre la ligne reliant le centre des sphères et l'horizontale:    θ = 45°;
  • Accélération de la pesanteur:    g = 9,8 m/s2.
Schéma du problème:

Figure 1

En faisant des Diagrammes de Corps Libres, nous avons les forces agissant dans le système (Figure 1).

  • Boîtea:
    • \( -{\vec F}_R \): force que la sphère B exerce sur le fond de la boîte;
    • \( {\vec F}_A \): force que la sphère A exerce sur la paroi latérale de la boîte;
    • \( -{\vec F}_B \): force que la sphère B exerce sur la paroi latérale de la boîte.
Le poids de la boîte a été négligé.
  • Sphère A:
    • \( \vec P \): poids de la sphère A;
    • \( {\vec F}_{AB} \): force de contact sur la sphère A due à la sphère B;
    • \( -{\vec F}_A \): force de réaction de la boîte sur la sphère A.
  • Sphère B:
    • \( \vec{P} \): poids de la sphère B;
    • \( {\vec F}_{BA} \): force de contact sur la sphère B due à la sphère B devido à esfera A, \( |\;{\vec{F}}_{BA}\;|=|\;{\vec{F}}_{AB}\;| \);
    • \( {\vec F}_R \): force de réaction du fond de la boîte sur la sphère B;
    • \( {\vec F}_{B} \): force de réaction de la boîte sur la sphère B.
Solution:

Étant donné que le système est en équilibre, la résultante des forces est égale à zéro.
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum _i F_i=0} \tag{I} \end{gather} \]
Nous dessinons les forces dans un système de coordonnées xy (Figures 2 et 3) et obtenons leurs composantes dans les directions x et y
  • Sphère A:
    • Direction x:
      • \( F_{Ax}=-F_A \)
      • \( F_{ABx}=F_{AB}\cos\theta \)
En appliquant la condition d'équilibre (I)
\[ \begin{gather} F_{ABx}-F_A=0 \\[5pt] F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \tag{II} \end{gather} \]
Figure 2
  • Sphère A:
    • Direction y:
      • \( P_y=-P \)
      • \( F_{ABy}=F_{AB}\sin\theta \)
En appliquant la condition d'équilibre (I)
\[ \begin{gather} F_{ABy}-P_y=0 \\[5pt] F_{AB}\sin\theta-P=0 \tag{III} \end{gather} \]
Le poids est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]
en substituant l'équation (IV) dans l'équation (III)
\[ \begin{gather} F_{AB}\sin\theta-mg=0 \tag{V} \end{gather} \]

  • Sphère B:
    • Direction x:
      • \( F_{Bx}=F_B \)
      • \( F_{BAx}=-F_{BA}\cos\theta=-F_{AB}\cos\theta \)
En appliquant la condition d'équilibre (I)
\[ \begin{gather} F_B-F_{BAx}=0 \\[5pt] F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \tag{VI} \end{gather} \]
Figure 3
  • Sphère B:
    • Direction y:
      • \( P_y=-P \)
      • \( F_{Ry}=F_R \)
      • \( F_{BAy}=-F_{BA}\sin\theta-F_{AB}\sin\theta \)
En appliquant la condition d'équilibre (I)
\[ \begin{gather} F_R-F_{BAy}-P=0 \\[5pt] F_R-F_{AB}\sin\theta-P=0 \tag{VII} \end{gather} \]
en substituant l'équation (IV) dans l'équation (VII)
\[ \begin{gather} F_R-F_{AB}\sin\theta-mg=0 \tag{VIII} \end{gather} \]
Les équations (II), (III), (VI) et (VIII) forment un système de quatre équations à quatre inconnues (FA, FAB, m et θ)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \\ F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \\ F_{AB}\sin\theta-mg=0 \\ F_R-F_{AB}\sin\theta-mg=0 \end{array} \right. \end{gather} \]
de la troisième équation du système, nous écrivons
\[ \begin{gather} F_{AB}\sin\theta-mg=0 \\[5pt] F_{AB}\sin\theta=mg \end{gather} \]
en substituant cette valeur dans la quatrième équation du système
\[ \begin{gather} F_R-mg-mg=0 \\[5pt] 2mg=F_R \\[5pt] m=\frac{F_R}{2g} \\[5pt] m=\frac{25}{2\times 9,8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m=1,28\;\mathrm{kg}} \end{gather} \]
En substituant cette valeur de la masse dans la troisième équation du système
\[ \begin{gather} F_{AB}\sin\theta-mg=0 \\[5pt] F_{AB}=\frac{mg}{\sin\theta} \end{gather} \]

De la Trigonométrie, pour θ = 45°,   \( \cos 45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} F_{AB}=\frac{1,28\times 9,8}{\dfrac{\sqrt{2\;}}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{AB}=17,7\;\mathrm N} \end{gather} \]
En substituant cette valeur de la force entre les sphères A et B dans les première et deuxième équations du système
\[ \begin{gather} F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \\[5pt] F_B=F_{AB}\cos\theta \\[5pt] F_B=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_B=12,5\;\mathrm N} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \\[5pt] F_A=F_{AB}\cos\theta \\[5pt] F_A=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_A=12,5\;\mathrm N} \end{gather} \]
publicité   

Creative Commons License
Fisicaexe - Physics Solved Problems by Elcio Brandani Mondadori is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License .