Ejercicio Resuelto sobre Estática

Dos esferas idénticas, A y B, están colocadas en una caja. La línea que une el centro de las dos esferas forma un ángulo de 45° con la horizontal, y la fuerza de reacción ejercida por el fondo de la caja sobre la esfera B es de 25 N. Determinar la fuerza de reacción que la caja ejerce sobre las esferas en los puntos de contacto entre las esferas y la caja, y la fuerza que ejerce la esfera A sobre la esfera B.

Datos del problema:

Fuerza de reacción del fondo de la caja en la esfera B: F_R = 25 N;
Ángulo entre la línea que une el centro de las esferas y la horizontal: θ = 45°;
Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s².

Esquema del problema:

Figura 1

Haciendo Diagramas de Cuerpos Libres, tenemos las fuerzas que actúan en el sistema (Figura 1).

Caja:
- \( -{\vec F}_R \): fuerza que la esfera B ejerce en el fondo de la caja;
- \( {\vec F}_A \): fuerza que la esfera A ejerce en la pared lateral de la caja;
- \( -{\vec F}_B \): fuerza que la esfera B ejerce en la pared lateral de la caja;

El peso de la caja fue despreciado.

Esfera A:
- \( \vec P \): peso de la esfera A;
- \( {\vec F}_{AB} \): fuerza de contacto en la esfera A debido a la esfera B;
- \( -{\vec F}_A \): fuerza de reacción de la caja sobre la esfera A.

Esfera B:
- \( \vec{P} \): peso de la esfera B;
- \( {\vec F}_{BA} \): fuerza de contacto en la esfera B debido a la esfera A, \( |\;{\vec{F}}_{BA}\;|=|\;{\vec{F}}_{AB}\;| \);
- \( {\vec F}_R \): fuerza de reacción del fondo de la caja sobre la esfera B;
- \( {\vec F}_{B} \): fuerza de reacción de la caja sobre la esfera B.

Solución:

Como el sistema está en equilibrio, la resultante de las fuerzas es igual a cero.

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum _i F_i=0} \tag{I} \end{gather} \]

Dibujamos las fuerzas en un sistema de coordenadas xy (Figuras 2 y 3) y obtenemos sus componentes a lo largo de las direcciones x e y

Esfera A:

Dirección x:

\( F_{Ax}=-F_A \)
\( F_{ABx}=F_{AB}\cos\theta \)

Aplicando la condición de equilibrio (I)

\[ \begin{gather} F_{ABx}-F_A=0 \\[5pt] F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \tag{II} \end{gather} \]

Figura 2

Esfera A:

Dirección y:

\( P_y=-P \)
\( F_{ABy}=F_{AB}\operatorname{sen}\theta \)

Aplicando la condición de equilibrio (I)

\[ \begin{gather} F_{ABy}-P_y=0 \\[5pt] F_{AB}\operatorname{sen}\theta-P=0 \tag{III} \end{gather} \]

El peso es dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]

sustituyendo la ecuación (IV) en la ecuación (III)

\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \tag{V} \end{gather} \]

Esfera B:

Dirección x:

\( F_{Bx}=F_B \)
\( F_{BAx}=-F_{BA}\cos\theta=-F_{AB}\cos\theta \)

Aplicando la condición de equilibrio (I)

\[ \begin{gather} F_B-F_{BAx}=0 \\[5pt] F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \tag{VI} \end{gather} \]

Figura 3

Esfera B:

Dirección y:

\( P_y=-P \)
\( F_{Ry}=F_R \)
\( F_{BAy}=-F_{BA}\operatorname{sen}\theta-F_{AB}\operatorname{sen}\theta \)

Aplicando la condición de equilibrio (I)

\[ \begin{gather} F_R-F_{BAy}-P=0 \\[5pt] F_R-F_{AB}\operatorname{sen}\theta-P=0 \tag{VII} \end{gather} \]

sustituyendo la ecuación (IV) en la ecuación (VII)

\[ \begin{gather} F_R-F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \tag{VIII} \end{gather} \]

Las ecuaciones (II), (III), (VI) y (VIII) forman un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (F_A, F_AB, m y θ)

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \\ F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \\ F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\ F_R-F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \end{array} \right. \end{gather} \]

de la tercera ecuación del sistema, escribimos

\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\[5pt] F_{AB}\operatorname{sen}\theta=mg \end{gather} \]

sustituyendo este valor en la cuarta ecuación del sistema

\[ \begin{gather} F_R-mg-mg=0 \\[5pt] 2mg=F_R \\[5pt] m=\frac{F_R}{2g} \\[5pt] m=\frac{25}{2\times 9,8} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m=1,28\;\mathrm{kg}} \end{gather} \]

Sustituyendo este valor de la masa en la tercera ecuación del sistema

\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\[5pt] F_{AB}=\frac{mg}{\operatorname{sen}\theta} \end{gather} \]

De la Trigonometría, para θ = 45°, \( \cos 45°=\operatorname{sen}45°=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} F_{AB}=\frac{1,28\times 9,8}{\dfrac{\sqrt{2\;}}{2}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{AB}=17,7\;\mathrm N} \end{gather} \]

Sustituyendo este valor de la fuerza entre las esferas A y B en la primera y en la segunda ecuaciones del sistema

\[ \begin{gather} F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \\[5pt] F_B=F_{AB}\cos\theta \\[5pt] F_B=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_B=12,5\;\mathrm N} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \\[5pt] F_A=F_{AB}\cos\theta \\[5pt] F_A=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_A=12,5\;\mathrm N} \end{gather} \]

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