Exercício Resolvido de Estática
publicidade   



Duas esferas idênticas, A e B, estão colocadas em uma caixa. A reta que liga o centro das duas esferas forma um ângulo de 45° com a horizontal, e a força de reação exercida pelo fundo da caixa sobre a esfera B é de 25 N. Determinar a furça de reação que a caixa exerce sobre as esferas nos pontos de contato entre as esferas e a caixa, e a força que exerce a esfera A sobre a esfera B.


Dados do problema:
  • Força de reação do fundo da caixa na esfera B:    FR = 25 N;
  • Ângulo entre a reta que liga o centro das esferas e a horizontal:    θ = 45°;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Figura 1

Fazendo Diagramas de Corpos Livre, temos as forças que atuam no sistema (Figura 1).

  • Caixa:
    • \( -{\vec F}_R \): força que a esfera B exerce no fundo da caixa;
    • \( {\vec F}_A \): força que a esfera A exerce na parede lateral da caixa;
    • \( -{\vec F}_B \): força que a esfera B exerce na parede lateral da caixa;
O peso da caixa foi desprezado.
  • Esfera A:
    • \( \vec P \): peso da esfera A;
    • \( {\vec F}_{AB} \): força de contato na esfera A devido à esfera B;
    • \( -{\vec F}_A \): força de reação da caixa sobre a esfera A.
  • Esfera B:
    • \( \vec{P} \): peso da esfera B;
    • \( {\vec F}_{BA} \): força de contato na esfera B devido à esfera A, \( |\;{\vec{F}}_{BA}\;|=|\;{\vec{F}}_{AB}\;| \);
    • \( {\vec F}_R \): força de reação do fundo da caixa sobre a esfera B;
    • \( {\vec F}_{B} \): força de reação da caixa sobre a esfera B.
Solução:

Como o sistema está em equilíbrio a resultante das forças é igual à zero.
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum _i F_i=0} \tag{I} \end{gather} \]
Desenhamos as forças em um sistema de coordenadas xy (Figuras 2 e 3) e obtemos suas componentes ao longo das direções x e y
  • Esfera A:
    • Direção x:
      • \( F_{Ax}=-F_A \)
      • \( F_{ABx}=F_{AB}\cos\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[ \begin{gather} F_{ABx}-F_A=0 \\[5pt] F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \tag{II} \end{gather} \]
Figura 2
  • Esfera A:
    • Direção y:
      • \( P_y=-P \)
      • \( F_{ABy}=F_{AB}\operatorname{sen}\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[ \begin{gather} F_{ABy}-P_y=0 \\[5pt] F_{AB}\operatorname{sen}\theta-P=0 \tag{III} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV) na equação (III)
\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \tag{V} \end{gather} \]

  • Esfera B:
    • Direção x:
      • \( F_{Bx}=F_B \)
      • \( F_{BAx}=-F_{BA}\cos\theta=-F_{AB}\cos\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[ \begin{gather} F_B-F_{BAx}=0 \\[5pt] F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \tag{VI} \end{gather} \]
Figura 3
  • Esfera B:
    • Direção y:
      • \( P_y=-P \)
      • \( F_{Ry}=F_R \)
      • \( F_{BAy}=-F_{BA}\operatorname{sen}\theta-F_{AB}\operatorname{sen}\theta \)
Aplicando a condição de equilíbrio (I)
\[ \begin{gather} F_R-F_{BAy}-P=0 \\[5pt] F_R-F_{AB}\operatorname{sen}\theta-P=0 \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo a equação (IV) na equação (VII)
\[ \begin{gather} F_R-F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \tag{VIII} \end{gather} \]
A equações (II), (III), (VI) e (VIII) formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas (FA, FAB, m e θ)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \\ F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \\ F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\ F_R-F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \end{array} \right. \end{gather} \]
da terceira equação do sistema, escrevemos
\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\[5pt] F_{AB}\operatorname{sen}\theta=mg \end{gather} \]
substituindo este valor na quarta equação do sistema
\[ \begin{gather} F_R-mg-mg=0 \\[5pt] 2mg=F_R \\[5pt] m=\frac{F_R}{2g} \\[5pt] m=\frac{25}{2\times 9,8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {m=1,28\;\mathrm{kg}} \end{gather} \]
Substituindo este valor da massa na terceira equação do sistema
\[ \begin{gather} F_{AB}\operatorname{sen}\theta-mg=0 \\[5pt] F_{AB}=\frac{mg}{\operatorname{sen}\theta} \end{gather} \]

Da Trigonometria, para θ = 45°,   \( \cos 45°=\operatorname{sen}45°=\frac{\sqrt{2\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} F_{AB}=\frac{1,28\times 9,8}{\dfrac{\sqrt{2\;}}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{AB}=17,7\;\mathrm N} \end{gather} \]
Substituindo este valor da força entre as esferas A e B na primeira e na segunda equações do sistema
\[ \begin{gather} F_B-F_{AB}\cos\theta=0 \\[5pt] F_B=F_{AB}\cos\theta \\[5pt] F_B=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_B=12,5\;\mathrm N} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{AB}\cos\theta-F_A=0 \\[5pt] F_A=F_{AB}\cos\theta \\[5pt] F_A=17,7\times\frac{\sqrt{2\;}}{2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_A=12,5\;\mathrm N} \end{gather} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .