Une balle roule sur une table horizontale d'une hauteur
H, à une vitesse constante
v0, sans frottement, jusqu'à tomber du bord. Calculer:
a) Le temps nécessaire pour que la balle touche le sol;
b) La distance horizontale, à partir du bord de la table, où la balle touche le sol;
c) L'équation de la trajectoire du mouvement;
d) La vitesse à laquelle la balle touche le sol.
Données du problème:
- Vitesse initiale de la balle sur la table: v0;
- Hauteur de la table: H.
Schéma du problème:
Nous choisissons un référentiel sur la table avec l'axe
Ox pointant vers la droite et
Oy vers
le bas, l'accélération de la pesanteur est dirigée vers le bas et le point où la balle tombe de la table est
en (
x0,
y0) = (0, 0), (Figure 1).
Solution
Le mouvement peut être décomposé dans les directions
x et
y. La vitesse initiale
v0, avec laquelle la balle roule sur la table dans la direction
x, sera la seule
vitesse jusqu'au moment où la balle tombe du bord de la table, dans la direction
y la vitesse initiale
sera nulle
\[
\begin{gather}
v_{0 x} = v_0 \tag{I}\\[10pt]
v_{0 y} = 0 \tag{II}
\end{gather}
\]
En décomposant le mouvement, dans la direction
x, il n'y a pas d'accélération agissant sur la balle,
elle est en
Mouvement Rectiligne Uniforme et son mouvement est donné par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S_x=S_{0x}+v_xt}
\end{gather}
\]
comme dans le mouvement uniforme
vx =
v0x est constant, nous
pouvons remplacer
vx par la valeur de (I) et
S0x = 0
\[
\begin{gather}
S_x=0+v_0t\\[5pt]
S_x=v_0t \tag{III}
\end{gather}
\]
Dans la direction
y, la balle est soumise à l'accélération de la gravité, donc elle est en chute libre
donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S_y=S_{0y}+v_{0y}t+\frac{g}{2}t^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_y=v_{0y}+gt}
\end{gather}
\]
en remplaçant
v0y par la valeur donnée en (II) et
S0y = 0
\[
\begin{gather}
S_y=0+0\times t+\frac{g}{2}t^2\\[5pt]
S_y=\frac{g}{2}t^2 \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_y=gt \tag{V}
\end{gather}
\]
avec
g constant (le signe positif indiquant que l'accélération de la pesanteur est dans le même sens
que l'orientation du référentiel).
Dans la Figure 2, nous voyons que dans le mouvement le long de la direction x, pour des
intervalles de temps égaux, nous avons des intervalles d'espaces égaux
(Δx1 = Δx2 =
Δx3 = Δx4). Dans la direction y, au moment où la
balle tombe de la table, la vitesse vy commence à augmenter à partir de zéro sous
l'action de la gravité, pour des intervalles de temps égaux, nous avons des intervalles d'espaces de
plus en plus grands
(Δ1 < Δ2 < Δ3 <
Δ4).
a) L'intervalle de temps pour que la balle atteigne le sol sera obtenu à partir de l'équation (IV) avec la
condition que sur le sol, la hauteur de la chute soit la hauteur de la table,
Sy = H
\[
\begin{gather}
H=\frac{g}{2}t^2\\[5pt]
t^2=\frac{2H}{g}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t=\sqrt{\frac{2H}{g}\;}}
\end{gather}
\]
b) L'intervalle de temps calculé ci-dessus, pour que la balle tombe jusqu'au sol, est également l'intervalle
de temps qu'elle mettra pour aller de l'origine au point
D le long de l'axe
x, en remplaçant la
réponse de l'élément précédent dans l'expression (III)
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{D=v_0\sqrt{\frac{2H}{g}\;}}
\end{gather}
\]
c) Pour obtenir l'équation de la trajectoire (Figure 1), nous devons exprimer
y en fonction de
x, ou
y =
f(
x), en utilisant les équations (III) et (IV) pour les mouvements en
x et
y. En isolant le temps dans l'expression (III)
\[
\begin{gather}
t=\frac{S_x}{v_0}
\end{gather}
\]
et en remplaçant cette valeur dans l'équation (IV)
\[
\begin{gather}
S_y=\frac{g}{2}\left(\frac{S_x}{v_0}\right)^2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{S_y={\frac{g}{2v_0^2}S_x^2}}
\end{gather}
\]
En associant cela à une
Équation du Second Degré de type
y =
ax2+
bx+
c
\[
\begin{array}{c}
S_y & = & {\dfrac{g}{2v_0^2}} & S_x^2 & + & 0 & S_x & + & 0\\
\downarrow & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow \\
y & = & a & x^2 & + & b & x & + & c
\end{array}
\]
Nous constatons que nous avons obtenu une fonction de type
Sy =
f(
Sx) avec le coefficient
a > 0, ce qui indique
que la trajectoire est une parabole "ouverte vers le bas", pointant dans le même sens que l'axe
y
positif (dans ce cas, vers le bas, contrairement à ce qui se passe généralement).
d) Lorsque la balle atteint le sol, sa vitesse a des composantes dans les directions
x et
y
(Figure 3). La vitesse dans la direction
x est donnée par l'expression (I) et la vitesse dans la
direction
y est obtenue à partir de l'expression (V) où le temps est remplacé par la valeur trouvée
dans l'article (a)
\[
\begin{gather}
v_y=g\sqrt{\frac{2H}{g}\;}\\[5pt]
v_y=\sqrt{\frac{2Hg^{\cancel 2}}{\cancel g}\;}\\[5pt]
v_y=\sqrt{2gH\;}
\end{gather}
\]
La vitesse de la balle est donnée par la somme vectorielle
\[
\begin{gather}
\vec v={\vec v}_x+{\vec v}_y
\end{gather}
\]
Le module est obtenu en appliquant le
Théorème de Pythagore
\[
\begin{gather}
v^2=v_x^2+v_y^2\\[5pt]
v^2=v_0^2+\left(\sqrt{2gH}\right)^2\\[5pt]
v^2=v_0^2+2gH
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v=\sqrt{v_0^2+2gH\;}}
\end{gather}
\]