Exercice Résolu sur les Mouvement Relatif
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Un bateau fonctionne à régime constant, sa vitesse par rapport à l'eau est de 5 m/s. Le courant de la rivière se déplace par rapport à la rive à une vitesse constante de 3 m/s. Déterminer le module de la vitesse du bateau par rapport aux rives de la rivière dans les situations suivantes:
a) Le bateau navigue dans le sens du courant (aval de la rivière);
b) Le bateau navigue dans le sens opposé au courant (amont de la rivière);
c) Le bateau navigue perpendiculairement au courant.


Données du problème:
  • Module de la vitesse du bateau par rapport à la rivière:    vb/r = 5 m/s;
  • Module de la vitesse du courant de la rivière par rapport à la rive:    vr = 3 m/s.
Solution

a) Le vecteur résultant \( {\vec v}_b \) (vitesse du bateau par rapport aux rives) a un module égal à la somme des modules des vecteurs \( {\vec v}_r \) et \( {\vec v}_{b/r} \), le bateau et le courant ont la même direction et le même sens (Figure 1)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec v}_b={\vec v}_{b/r}+{\vec v}_r} \tag{I} \end{gather} \]
en module
\[ \begin{gather} v_b=v_{b/r}+v_r\\[5pt] v_b=5+3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_b=8\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
Figure 1

b) Le vecteur résultant \( {\vec v}_b \) a un module égal à la différence des modules des vecteurs \( {\vec v}_r \) et \( {\vec v}_{b/r} \), le bateau et le courant ont la même direction mais des sens opposés, en appliquant l'équation (I), en module (Figure 2)
\[ \begin{gather} v_b=v_{b/r}+(-v_r)\\[5pt] v_b=5-3 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_b=2\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
Figure 2

c) Le bateau arrive à un point en aval par rapport au point de départ (Figure 3-A), le module de la vitesse résultante sera donné par le Théorème de Pythagore, où le vecteur résultant \( {\vec v}_b \) représente l'hypoténuse et les vecteurs \( {\vec v}_r \) et \( {\vec v}_{b/r} \) représentent les côtés (Figure 3-B), en appliquant l'équation (I), en module
\[ \begin{gather} v_b^2=v_{b/r}^2+v_r^2\\[5pt] v_b^2=5^2+3^2\\[5pt] v_b=\sqrt{25+9\;}\\[5pt] v_b=\sqrt{34} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_b=5,8\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
Figure 3
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