Exercice Résolu sur les Quantité de Mouvement
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Un canon d'un navire pirate du XVIIIe siècle avait une masse de 2000 livres et tirait des balles de 10 livres à une vitesse de 300 m/s. Étant donné que le canon est horizontal et que la vitesse de la balle est constante à l'intérieur du canon. Déterminer la vitesse de recul du canon. Utiliser 1 livre égale à 450 grammes.


Données du problème
  • Masse du canon:    M = 2000 lb;
  • Masse de la balle:    m = 10 lb;
  • Vitesse de la balle:    v = 300 m/s.
Solution

Premièrement, nous devons convertir les masses du canon et de la balle données en livres (lb) en kilogrammes (kg), comme utilisé dans le Système International d'Unités (SI)
\[ \begin{gather} M=2000\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel g}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=900\;\mathrm{kg}\\[10pt] m=10\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel{g}}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=4,5\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
En analysant les forces, dans la direction verticale, nous avons le poids, \( \vec P \), et la force normale de reaction, \( \vec N \), qui s'équilibrent. Dans la direction horizontale, la force que le canon exerce sur la balle, \( \vec F \), a la même intensité que la force que la balle exerce sur le canon, \( -{\vec F} \), avec la même direction et le sens opposé (Figure 1). Ainsi, le système canon/balle est isolé des forces externes et nous pouvons appliquer la Loi de Conservation de la Quantité de Mouvement.
Figure 1

La quantité de mouvement avant le tir doit être égale à la quantité de mouvement après le tir
\[ \begin{gather} p_i=p_f \tag{I} \end{gather} \]
Figure 2

Initialement, le canon et la balle sont au repos (Figure 2-A). Lorsque le canon est tiré, il agit sur la balle et produit une vitesse \( \vec v \) vers l'avant, la balle réagit sur le canon et le fait reculer avec une vitesse \( -{\vec V} \) (Figure 2-B). La quantité de mouvement est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {p=m v} \end{gather} \]
en module, la condition (I) peut être écrite comme
\[ \begin{gather} mv_0+MV_0=mv+MV\\[5pt] 4,5\times 0+900\times 0=4,5\times 300+900V\\[5pt] 1350+900V=0\\[5pt] 900V=-1350\\[5pt] V=-{\frac{1350}{900}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=-1,5\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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