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FISICAEXE
Ejercicio Resuelto sobre Cantidad de Movimiento
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Un cañón de un barco pirata del siglo XVIII tenía una masa de 2000 libras y disparaba balas de 10 libras a una velocidad de 300 m/s. Si el cañón está en posición horizontal y la velocidad de la bala es constante dentro del cañón. Determina la velocidad de retroceso del cañón. Tomamos que 1 libra es igual a 450 gramos.

Datos del problema:

  • Masa del cañón: M = 2000 lb;
  • Masa de la bala: m = 10 lb;
  • Velocidad de la bala: v = 300 m/s.

Solución:

Primero, debemos convertir las masas del cañón y de la bala dadas en libras (lb) a kilogramos (kg), que se utilizan en el Sistema Internacional de Unidades (SI)

\[ \begin{gather} M=2000\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel g}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=900\;\mathrm{kg}\\[10pt] m=10\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel{g}}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=4,5\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
Al analizar las fuerzas, en la dirección vertical tenemos el peso, \( \vec P \), y la fuerza normal de reacción, \( \vec N \), que se equilibran. En la dirección horizontal, la fuerza que el cañón ejerce sobre la bala, \( \vec F \), tiene la misma magnitud que la fuerza que la bala ejerce sobre el cañón, \( -{\vec F} \), con la misma dirección y sentido opuesto (Figura 1). Por lo tanto, el sistema cañón/bala está aislado de fuerzas externas y podemos aplicar el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento.
Figura 1

La cantidad de movimiento antes del disparo debe ser igual a la cantidad de movimiento después del disparo

\[ \begin{gather} p_i=p_f \tag{I} \end{gather} \]
Figura 2

Inicialmente, el cañón y la bala están en reposo (Figura 2-A). Cuando el cañón es disparado, este actúa sobre la bala y le da una velocidad \( \vec v \) hacia adelante, la bala reacciona sobre el cañón y hace que retroceda con velocidad \( -{\vec V} \) (Figura 2-B). Siendo la cantidad de movimiento dada por

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {p=m v} \end{gather} \]

en módulo, la condición (I) puede ser escrita como

\[ \begin{gather} mv_0+MV_0=mv+MV \\[5pt] 4,5\times 0+900\times 0=4,5\times 300+900V \\[5pt] 1350+900V=0 \\[5pt] 900V=-1350 \\[5pt] V=-{\frac{1350}{900}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {V=-1,5\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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