Exercício Resolvido de Quantidade de Movimento
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Um canhão de um navio pirata do século XVIII tinha uma massa de 2000 libras e disparava balas de 10 libras a uma velocidade de 300 m/s. Estando o canhão na horizontal e sendo a velocidade da bala constante no interior do canhão determine a velocidade de recuo do canhão. Adote 1 libra igual a 450 gramas.


Dados do problema:
  • Massa do canhão:    M = 2000 lb;
  • Massa da bala:    m = 10 lb;
  • Velocidade da bala:    v = 300 m/s.
Solução

Em primeiro lugar devemos converter as massas do canhão e da bala dadas em libras (lb) para quilogramas (kg) usado no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
\[ \begin{gather} M=2000\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel g}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=900\;\mathrm{kg}\\[10pt] m=10\;\mathrm{\cancel{lb}}\times\frac{450\;\mathrm{\cancel{g}}}{1\;\mathrm{\cancel{lb}}}\times\frac{1\;\mathrm{kg}}{1000\;\mathrm{\cancel g}}=4,5\;\mathrm{kg} \end{gather} \]
Analisando as forças, na direção vertical temos a força peso, \( \vec P \), e a força normal de reação, \( \vec N \), que se equilibram. Na direção horizontal a força que o canhão faz na bala, \( \vec F \), tem a mesma intensidade que a força que a bala faz no canhão, \( -{\vec F} \), com mesma direção e sentido contrário (Figura 1). Assim o sistema canhão/bala está isolado de forças externas e podemos aplicar o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento.
Figura 1

A quantidade de movimento antes do disparo deve ser igual à quantidade de movimento depois do disparo
\[ \begin{gather} Q_i=Q_f \tag{I} \end{gather} \]
Figura 2

Inicialmente o canhão e a bala estão em repouso (Figura 2-A). Quando o canhão é disparado este age na bala e produz uma velocidade \( \vec v \) para frente, a bala reage no canhão e faz com que ele recue com velocidade \( -{\vec V} \) (Figura 2-B). Sendo a quantidade de movimento dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {Q=m v} \end{gather} \]
em módulo a condição (I) pode ser escrita como
\[ \begin{gather} mv_0+MV_0=mv+MV\\[5pt] 4,5\times 0+900\times 0=4,5\times 300+900V\\[5pt] 1350+900V=0\\[5pt] 900V=-1350\\[5pt] V=-{\frac{1350}{900}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {V=-1,5\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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