Equação de Schrödinger
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Se as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ3(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger para um potencial V(x, t), mostre que a combinação linear Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t) também é uma solução desta equação.

Solução

Considere uma partícula de massa m confinada entre os pontos \( x=-\frac{a}{2}\) e \( x=\frac{a}{2}\) , que pode se mover livremente nesta região ao longo do eixo x. Suponha que as paredes que limitam esta região sejam completamente impenetráveis (poço de potencial infinito unidimensional) e a partícula está submetida a um potencial nulo. Para o.estado de menor energia da partícula a sua função de onda é dada por

\[ \Psi (x,t)=\left\{ \begin{gather} A\,\cos\frac{\pi x}{a}\;\text{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}} \; , \qquad -\frac{a}{2} < x> \frac{a}{2} \\[5pt] \qquad \; 0 \; , \qquad\qquad x\leqslant-{\frac{a}{2}}\ \ \text{ou}\ \ x\geqslant \frac{a}{2} \end{gather} \right. \]

onde A é uma constante real e E a energia total para este estado, determine:
a) A energia total da partícula;
b) A constante A que normaliza a função de onda;
c) O valor esperado de x;
d) O valor esperado de p;
e) O valor esperado de x 2;
f) O valor esperado de p 2;
g) A incerteza na posição da partícula;;
h) A incerteza no momento da partícula
i) Se é válido o Princípio da Incerteza de Heisenberg.

Solução

Considere uma partícula de massa m confinada entre os pontos \( x=-\frac{a}{2}\) e \( x=\frac{a}{2}\) , que pode se mover livremente nesta região ao longo do eixo x. Suponha que as paredes que limitam esta região sejam completamente impenetráveis (poço de potencial infinito unidimensional) e a partícula está submetida a um potencial nulo. Para o.estado de menor energia da partícula a sua função de onda é dada por

\[ \Psi (x,t)=\left\{ \begin{gather} A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\;\text{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}} \; , \qquad -\frac{a}{2} < x> \frac{a}{2} \\[5pt] \qquad \; 0 \; , \qquad\qquad x\leqslant-{\frac{a}{2}}\ \ \text{ou}\ \ x\geqslant \frac{a}{2} \end{gather} \right. \]

onde A é uma constante real e E a energia total para este estado, determine:
a) A energia total da partícula;
b) A constante A que normaliza a função de onda;
c) O valor esperado de x;
d) O valor esperado de p;
e) O valor esperado de x 2;
f) O valor esperado de p 2;
g) A incerteza na posição da partícula;;
h) A incerteza no momento da partícula
i) Se é válido o Princípio da Incerteza de Heisenberg.

Solução

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