Exercício Resolvido de Equação de Schrödinger
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Se as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ3(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger para um potencial V(x, t), mostre que a combinação linear Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t) também é uma solução desta equação.


Solução:

Aplicando a Equação de Schrödinger
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {-{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}} \end{gather} \]
queremos mostrar que a função dada Ψ(x, t) é solução da Equação de Schrödinger, escrevendo na seguinte forma
\[ \begin{gather} -{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi(x,t)-i\hbar\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=0 \tag{I} \end{gather} \]
substituindo a função Ψ(x, t) dada no problema na equação (I)
\[ \begin{align} & -{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2[c_1\Psi_1(x,t)+c_2\Psi_2(x,t)+c_3\Psi_3(x,t)]}{\partial x^2}+\qquad\qquad\qquad\\ &\qquad +V(x,t)[c_1\Psi_1(x,t)+c_2\Psi_2(x,t)+c_3\Psi_3(x,t)]-\\ &\qquad -i\hbar\frac{\partial[c_1\Psi_1(x,t)+c_2\Psi_2(x,t)+c_3\Psi_3(x,t)]}{\partial t}=0 \\[10pt] & -{\frac{\hbar^2}{2m}}\left[c_1\frac{\Psi_1(x,t)}{\partial x^2}+c_2\frac{\Psi_2(x,t)}{\partial x^2}+c_3\frac{\Psi_3(x,t)}{\partial x^2}\right]+\qquad\quad\qquad\\ &\qquad +c_1\Psi_1(x,t)V(x,t)+c_2\Psi_2(x,t)V(x,t)+c_3\Psi_3(x,t)V(x,t)+\\ &\qquad -c_1 i\hbar\frac{\partial \Psi_1(x,t)}{\partial t}-c_2 i\hbar\frac{\partial\Psi_2(x,t)}{\partial t}-c_3 i\hbar\frac{\partial \Psi_3(x,t)}{\partial t}=0 \\[10pt] & c_1\;\left[-{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi_1(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi_1(x,t)-i\hbar\frac{\partial \Psi_1(x,t)}{\partial t}\right]+\qquad\quad\\ &\qquad +c_2\;\left[-{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi_2(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi_2(x,t)-i\hbar\frac{\partial \Psi_2(x,t)}{\partial t}\right]+\quad \tag{II} \\ &\qquad +c_3\;\left[-{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi_3(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi_3(x,t)-i\hbar\frac{\partial \Psi_3(x,t)}{\partial t}\right]=0 \end{align} \]
Como o problema nos diz que as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ3(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger, isto quer dizer que
\[ \begin{gather} -{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi_1(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi_1(x,t)-i\hbar\frac{\partial\Psi_1(x,t)}{\partial t}=0 \\[10pt] -{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi_2(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi_2(x,t)-i\hbar\frac{\partial \Psi_2(x,t)}{\partial t}=0 \\[10pt] -{\frac{\hbar^2}{2m}}\frac{\partial^2\Psi_3(x,t)}{\partial x^2}+V(x,t)\Psi_3(x,t)-i\hbar\frac{\partial\Psi_3(x,t)}{\partial t}=0 \end{gather} \]
substituindo estes valores na equação (II)
\[ \begin{gather} c_1\times 0+c_2\times 0+c_3\times 0=0 \end{gather} \]
esta igualdade será verificada para quaisquer valores de c1, c2 e c3, isto torna equação (I) verdadeira. Portanto, Ψ(x, t) é solução da Equação de Schrödinger .
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