Exercício Resolvido de Equação de Schrödinger
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Considere uma partícula de massa m, confinada entre os pontos, \( x=-{\frac{a}{2}} \) e \( x=\frac{a}{2} \), que pode se mover livremente nesta região ao longo do eixo-x. Suponha que as paredes que limitam esta região sejam completamente impenetráveis (poço de potencial infinito unidimensional) e a partícula está submetida a um potencial nulo. Para o.estado de menor energia da partícula a sua função de onda é dada por
\[
\Psi (x,t)= \left\{
\begin{gather}
A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\;\text{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}} \; , \qquad -\frac{a}{2} < x > \frac{a}{2}\\
\qquad \; 0 \; , \qquad\qquad x\leqslant-{\frac{a}{2}}\ \ \text{ou}\ \ x\geqslant \frac{a}{2}
\end{gather}
\right.
\]
onde A é uma constante real e E a energia total para este estado, determine:a) A energia total da partícula;
b) A constante A que normaliza a função de onda;
c) O valor esperado de x;
d) O valor esperado de p;
e) O valor esperado de x2;
f) O valor esperado de p2;
g) A incerteza na posição da partícula;
h) A incerteza no momento da partícula;
í) Se é válido o Princípio da Incerteza de Heisenberg.
Solução
a) Usando a Equação de Schrödinger
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\Psi (x,t)=i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}
\]
O problema diz que no interior do poço a partícula está submetida a um potencial nulo
(V(x,t)=0), portanto podemos reescrever a Equação de Schrödinge na forma
\[
-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\frac{\partial^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}=i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t} \tag{I}
\]
Calculando as derivadas da função de onda em relação a x e t dentro do poço de potencial
\[
\begin{align}
\, & \Psi (x,t)=A\;\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\;\text{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}\\
\, & \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x}=A\frac{\pi}{a}\,cos\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}} \tag{II} \\
\, & \frac{\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}=-A\frac{\pi}{a}\,\left(\frac{\pi }{a}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\right)\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}\text{=}\\
\, & \qquad\qquad\qquad \text{=}-\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\underbrace{A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{\Psi (x,t)}=-\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t) \quad \tag{III}\\
\, & \frac{\partial\Psi (x,t)}{\partial t}=A\,\left(-{\frac{iE}{\hbar }}\right)\,\operatorname{sen}\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}=-{\frac{iE}{\hbar}}\underbrace{A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{\Psi (x,t)}=-{\frac{iE}{\hbar }}\Psi (x,t) \tag{IV}
\end{align}
\]
substituindo as derivadas (III) e (IV) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}\left[-\;\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t)\right]=i\hbar \left[-{\frac{iE}{\hbar }}\Psi(x,t)\right]\\
\frac{\hbar ^{2}}{2m}\;\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t)=-i^{2}E\Psi (x,t)
\end{gather}
\]
lembrando dos números complexos que i2 = −1
\[
\begin{gather}
\frac{\hbar ^{2}}{2m}\;\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\Psi (x,t)=-(-1)E\Psi (x,t)\\
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\pi ^{2}}{a^{2}}\Psi (x,t)=E\Psi (x,t)
\end{gather}
\]
A última igualdade estará satisfeita se a energia tiver o valor de
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}
\]
b) Para determinarmos a constante de normalização devemos ter
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\int \Psi^\ast\Psi d x =1}
\]
onde Ψ* representa o Complexo Conjugado da função Ψ, invertendo o sinal da parte imaginária,
temos
\( \Psi^{\ast}(x,t)=A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}} \)
e o cálculo da constante será
\[
\begin{gather}
\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}}d x =1\\
\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}} d x =1\\
\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =1
\end{gather}
\]
a constante A2 pode sair da integral e fazendo a substituição
\( \operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{2\pi x}{a} \)
a integral fica
Observação: lembrando das seguintes propriedades trigonométricas
\[
\begin{gather}
\cos (a+a)=\cos a\cos
a-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}a\Rightarrow \cos 2a=\cos^{2}a-\operatorname{sen}^{2}a\\
\cos (a-a)=\cos a\cos a+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}a\Rightarrow 1=\cos^{2}a+\text{sen}^{2}a
\end{gather}
\]
subtraindo a primeira expressão da segunda
\[
\begin{gather}
\frac{
\begin{matrix}
1=\cos ^{2}a+\operatorname{sen}^{2}a \qquad\;\, \\
\cos 2a=\cos^{2}a-\operatorname{sen}^{2}a \qquad \text{(-)}
\end{matrix}}
{1-\cos 2a=2\operatorname{sen} ^{2}a}\\
\operatorname{sen} ^{2}a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2a
\end{gather}
\]
\[
A^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x =1 \tag{V}
\]
colocando o fator
\( \frac{1}{2} \)
para fora da integral, e sendo a integral da diferença igual a diferença das integrais podemos escrever
\[
\frac{A^{2}}{2}\,\left[\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,d x -\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\, d x \right]=1
\]
Integração de
\( \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,d x \)
\[
\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,d x =\left.x\,\right|_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}=\frac{a}{2}-\left(-{\frac{a}{2}}\right)=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=a
\]
Integração de
\( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x \)
Fazendo a mudança de variável
para \( x=\frac{a}{2} \) temos \( u=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}\Rightarrow u=\pi \)
para \( x=-{\frac{a}{2}} \) temos \( u=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\left(-{\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}}\right)\Rightarrow u=-\pi \)
Fazendo a mudança de variável
\[
\begin{align}
\, & u=\frac{2\pi x}{a}\\
\, & \frac{d u}{d x}=\frac{2\pi }{a}\Rightarrow d x =\frac{a}{2\pi}
\end{align}
\]
Fazendo a mudança dos extremos de integração
para \( x=\frac{a}{2} \) temos \( u=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}\Rightarrow u=\pi \)
para \( x=-{\frac{a}{2}} \) temos \( u=\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\left(-{\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}}\right)\Rightarrow u=-\pi \)
\[
\begin{gather}
\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x =\int _{-\pi }^{\pi }\cos u\frac{a}{2\pi}\,\mathit{du}=\frac{a}{2\pi }\,\int _{-\pi }^{\pi}\cos u\,\mathit{du}=\frac{a}{2\pi }\,\left.\operatorname{sen}\right|_{\,-\pi}^{\,\pi }\text{=}\\
\text{=}\frac{a}{2\pi }\,\left[\operatorname{sen}\pi -\operatorname{sen}(-\pi )\right]=\frac{a}{2\pi }[0-0]=\frac{a}{2\pi}.0=0
\end{gather}
\]
Substituindo o resultado das duas integrais na expressão (V)
\[
\begin{gather}
\frac{A^{2}}{2}\,[a+0]=1\\
\frac{A^{2}}{2}\,a=1\\
A^{2}=\frac{2}{a}
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{A=\sqrt{\,\frac{2}{a}\,}}
\]
c) O valor esperado de x é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\text{<}x\text{>=}\int \Psi^{\text{*}} \hat{x} \Psi d x}
\]
onde
\( \hat{x} \)
é o operador posição dado por
\( \hat{x}=x \)
\[
\begin{gather}
\text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}xA\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}}d x \\
\text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,\underbrace{\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{1}d x \\
\text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x
\end{gather}
\]
a constante A2 pode sair da integral
\[
\text{<}x\text{>=}A^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x
\]
Integração de
\( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \)
A função x é uma função ímpar, a função \( \operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a} \) é uma função par, uma função ímpar multiplicada por uma função par resulta numa função ímpar que integrada num intervalo simétrico é zero, portanto
A função x é uma função ímpar, a função \( \operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a} \) é uma função par, uma função ímpar multiplicada por uma função par resulta numa função ímpar que integrada num intervalo simétrico é zero, portanto
\[
\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x=0
\]
\[
\text{<}x\text{>=}A^{2}.0
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\text{<}x\text{>}=0}
\]
d) O valor esperado de p é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\text{<}p\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}\hat{p}\Psi d x }
\]
onde
\( hat{p} \)
é o operador momento dado por
\( \hat{p}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \)
\[
\text{<}p\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi^{\text{*}}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi d x
\]
colocado o fator constante
\( -i \hbar \)
para fora da integral e aplicando a derivada parcial à função &Psi
\[
\text{<}p\text{>=}-i\hbar \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi ^{\text{*}}\frac{\partial \Psi}{\partial x}d x
\]
Utilizando o valor de Ψ* e a primeira derivada de Ψ obtida em (II)
\[
\begin{gather}
\text{<}p\text{>=}-i\hbar \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}\,A\frac{\pi}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}\,d x \\
\text{<}p\text{>=}-i\hbar\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\left(A\frac{\pi}{a}\right)\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,\underbrace{\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{1}\,d x \\
\text{<}p\text{>=}-i\hbar\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}\frac{\pi}{a}\,\operatorname{sen}\frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x
\end{gather}
\]
colocando a constante
\( A^{2}\frac{\pi}{a} \)
para fora da integral
\[
\text{<}p\text{>=}-i\hbar A^{2}\frac{\pi }{a}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x
\]
Integração de \( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x \)
A função \( \operatorname{sen} \frac{\pi x}{a} \) é uma função par, a função \( \cos\frac{\pi x}{a} \) é uma função ímpar, uma função par multiplicada por uma função ímpar resulta numa função ímpar que integrada num intervalo simétrico é zero
A função \( \operatorname{sen} \frac{\pi x}{a} \) é uma função par, a função \( \cos\frac{\pi x}{a} \) é uma função ímpar, uma função par multiplicada por uma função ímpar resulta numa função ímpar que integrada num intervalo simétrico é zero
\[
\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\cos\frac{\pi x}{a}\,d x =0
\]
\[
\text{<}p\text{>=}-i\hbar A^{2}\frac{\pi }{a}.0
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\text{<}p\text{>=}0}
\]
e) Para o cálculo do valor esperado de x2
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\text{<}x^{2}\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}{\hat{x}}^{2}\Psi d x}
\]
onde
\( \hat{x}^{2} \)
é o operador do quadrado da posição dado por
\( \hat{x}^{2}=x^{2} \)
\[
\begin{gather}
\text{<}x^{2}\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar }}x^{2}A\,\operatorname{sen} \frac{\pi x}{a}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar }}}\mathit{dx}\\
\text{<}x\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,\underbrace{\operatorname{e}^{\frac{iEt}{\hbar}}\,\operatorname{e}^{-{\frac{iEt}{\hbar}}}}_{1}\mathit{dx}\\
\text{<}x^{2}\text{>=}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}A^{2}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x
\end{gather}
\]
a constante A2 pode sair da integral
\[
\text{<}x^{2}\text{>=}A^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x
\]
Integração de
\( \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x \)
Fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^{2}\frac{\pi x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{2\pi x}{a} \) usada no item (b)
Fazendo a substituição \( \operatorname{sen}^{2}\frac{\pi x}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos \frac{2\pi x}{a} \) usada no item (b)
\[
\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x =\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x
\]
como a integral da soma é a soma das integrais, e colocando o fator
\( \frac{1}{2} \) em evidência
\[
\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =\frac{1}{2}\,\left(\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,d x -\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x \right) \tag{VI}
\]
- Integral de \( \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,d x \)
\[
\begin{align}
\, & \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,d x =\left.\frac{x^{3}}{3}\,\right|_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}=\frac{1}{3}.\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{3}-\left(-{\frac{a}{2}}\right)^{3}\right]\text{=}\\
\, & \text{=}\frac{1}{3}.\left[\frac{a^{3}}{8}-\left(-{\frac{a^{3}}{8}}\right)\right]=\frac{1}{3}.\left[\frac{a^{3}}{8}+\frac{a^{3}}{8}\right]\text{=}\\
\, & \text{=}\frac{1}{3}.\left[\frac{2a^{3}}{8}\right]=\frac{a^{3}}{12} \tag{VII}
\end{align}
\]
- Cuidado com a segunda integral
\[
\begin{align}
u=x^{2} \qquad & v'=\cos \frac{2\pi x}{a}\\
u'=2x \qquad & v=\frac{a}{2\pi}\,\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\, & \int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\cos\frac{2\pi x}{a}\,d x=\left[x^{2}\frac{a}{2\pi }\cos \frac{2\pi x}{a}\right]_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}-\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\left(2x\right)\left(\frac{a}{2\pi}\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\right)\,d x \text{=}\\
\, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\cos \left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}\right)-\left(-{\frac{a}{2}}\right)^{2}\cos\left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\left(-{\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}}\right)\right)\right]-\frac{a}{\pi}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\
\, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[\frac{a^{2}}{4}\cos (\pi )-\frac{a^{2}}{4}\cos (-\pi)\right]-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\
\, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[\frac{a^{2}}{4}(-1)-\frac{a^{2}}{4}(-1)\right]-\frac{a}{\pi}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\
\, & \text{=}\frac{a}{2\pi}\,\left[-{\frac{a^{2}}{4}}+\frac{a^{2}}{4}\right]-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x\text{=}\\
\, & \text{=}\frac{a}{2\pi}.0-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\
\, & \text{=}-\frac{a}{\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\text{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \tag{VII}
\end{align}
\]
A segunda integral,
\( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \)
deve ser resolvida novamente usando-se Integração por Partes, escolhendo
\[
\begin{align}
u=x \qquad & v'=\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\\
u'=1 \qquad & v=-{\frac{a}{2\pi }}\,\cos \frac{2\pi x}{a}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\, &\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\left[-x\frac{a}{2\pi }\cos \frac{2\pi x}{a}\right]_{\,-\frac{a}{2}}^{\,\frac{a}{2}}-\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\left(1\right)\left(-{\frac{a}{2\pi}\cos \frac{2\pi x}{a}}\right)\,d x\text{=}\\
\, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\,\left[\frac{a}{2}\cos \left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}\right)-\left(-{\frac{a}{2}}\right)\cos \left(\frac{\cancel{2}\pi}{\cancel{a}}.\left(-{\frac{\cancel{a}}{\cancel{2}}}\right)\right)\right]-\frac{a}{2\pi }\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x \text{=}\\
\, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[\frac{a}{2}\cos (\pi )+\frac{a}{2}\cos (-\pi)\right]-\left[\frac{a}{2\pi }\operatorname{sen}\frac{2\pi x}{a}\right]_{-{\frac{a}{2}}}^{\,\frac{a}{2}}\right\}\text{=}\\
\, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[\frac{a}{2}(-1)+\frac{a}{2}(-1)\right]-\frac{a}{2\pi}\,\left[\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{a}\frac{a}{2}\right)-\operatorname{sen}\left(\frac{2\pi}{a}\left(\frac{-{a}}{2}\right)\right)\right]\right\}\text{=}\\
\, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[-{\frac{a}{2}}-\frac{a}{2}\right]-\frac{a}{2\pi}\,\left[\operatorname{sen}(\pi )-\operatorname{sen}(-\pi)\right]\right\}\text{=}\\
\, & \text{=}-\frac{a}{2\pi}\left\{\,\left[-a\right]-\frac{a}{2\pi}\,\left[0-0\right]\right\}\text{=}\\
\, & \text{=}\frac{a^{2}}{2\pi} \tag{IX}
\end{align}
\]
substituindo a expressão (IX) na integral em (VIII)
\[
\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\cos \frac{2\pi x}{a}\,d x=\frac{-{a}}{\pi }.\frac{a^{2}}{2\pi}=-{\frac{a^{3}}{2\pi ^{2}}} \tag{X}
\]
substituindo as expressões (X) e (VII) na integral (VI)
\[
\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}x^{2}\,\cos ^{2}\frac{\pi x}{a}\,d x =\frac{1}{2}\,\left[\left(\frac{a^{3}}{12}\right)+\left(-{\frac{a^{3}}{2\pi^{2}}}\right)\right]=\frac{a^{3}}{4\pi ^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)
\]
Substituindo o valor da integral obtida acima e o valor da constante A do item (b) o valor esperado de x2 será
\[
\begin{gather}
\text{<}x^{2}\text{>=}\left(\sqrt{\,\frac{2}{a}\,}\right)^{2}\frac{a^{3}}{4\pi^{2}}\left(\frac{\pi ^{2}}{6}-1\right)\\
\text{<}x^{2}\text{>=}\frac{2}{a}\frac{a^{3}}{4\pi^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)
\end{gather}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\text{<}x^{2}\text{>=}\frac{a^{2}}{2\pi^{2}}\left(\frac{\pi ^{2}}{6}-1\right)}
\]
f) O valor esperado de p2 é dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\text{<}p^{2}\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}{\hat{p}}^{2}\Psi d x}
\]
onde
\( \hat{p} \)
é o quadrado do operador momento dado por
\[
{\hat{p}}^{2}=\left(-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}\right)^{2}=i^{2}\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}=-\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}
\]
\[
\text{<}p^{2}\text{>=}\int \Psi^{\text{*}}\,\left(-\hbar ^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}\right)\,\Psi d x
\]
colocado a constante
\( -\hbar^{2} \)
para fora da integral e aplicando a derivada parcial à função Ψ
\[
\text{<}p^{2}\text{>=}-\hbar ^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi ^{\text{*}}\,\frac{\partial^{2}\,\Psi }{\partial x^{2}}d x
\]
Utilizando o valor de Ψ* e a segunda derivada de Ψ obtida em (III)
\[
\begin{gather}
\text{<}p^{2}\text{>=}-\hbar^{2}\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\Psi^{\text{*}}\,\left[-\,\left(\frac{\pi }{a}\right)^{2}\Psi\right]\,d x \\
\text{<}p^{2}\text{>=}-\hbar ^{2}\int_{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}-\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\,\Psi ^{\text{*}}\,\Psi \,d x
\end{gather}
\]
colocando a constante
\( -\,\left(\frac{\pi }{a}\right)^{2} \)
para fora da integral
\[
\text{<}p^{2}\text{>=}\hbar ^{2}\,\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}\int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\Psi^{\text{*}}\,\Psi \,d x
\]
a integral,
\( \int _{-{\frac{a}{2}}}^{{\frac{a}{2}}}\,\Psi ^{\text{*}}\,\Psi\,d x \) ,
representa a probabilidade de se encontrar a partícula em qualquer ponto dentro do poço, e como visto no
item (b) é igual a um
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\text{<}p^{2}\text{>=}\left(\frac{\hbar \pi}{a}\right)^{2}}
\]
g) A incerteza na posição da partícula é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta x^{2}=\text{<}x^{2}\text{>}-\text{<}x\text{>}^{2}}
\]
usando os resultados obtidos nos itens (c) e (e) para <x> e <x2> respectivamente
\[
\Delta x^{2}=\frac{a^{2}}{2\pi ^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)-0^{2}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta x=\sqrt{\,\frac{a^{2}}{2\pi ^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}}
\]
h) A incerteza no momento da partícula é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta p^{2}=\text{<}p^{2}\text{>}-\text{<}p\text{>}^{2}}
\]
usando os resultados obtidos nos itens (d) e (f) para p e p2 respectivamente
\[
\Delta p^{2}=\left(\frac{\hbar \pi}{a}\right)^{2}-0^{2}
\]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px]
{\Delta p=\sqrt{\,\left(\frac{\hbar \pi }{a}\right)^{2}\,}}
\]
i) O Princípio da Incerteza de Heisenberg nos diz que
\[ \bbox[#99CCFF,10px]
{\Delta x\Delta p\ge \frac{\hbar }{2}}
\]
substituindo os valores das incertezas na posição e no momento, obtidos acima
\[
\begin{gather}
\sqrt{\,\frac{a^{2}}{2\pi^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}\sqrt{\,\left(\frac{\hbar \pi }{a}\right)^{2}\,}\ge\frac{\hbar }{2}\\
\sqrt{\,\frac{a^{2}}{2\pi^{2}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,\left(\frac{\hbar \pi }{a}\right)^{2}\,}\ge\frac{\hbar }{2}\\
\sqrt{\,\frac{\cancel{a^{2}}}{2\cancel{\pi^{2}}}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,\frac{\hbar^{2}\cancel{\pi^{2}}}{\cancel{a^{2}}}\,}\ge \frac{\hbar}{2}\\
\sqrt{\,\frac{\hbar^{2}}{2}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}\ge \frac{\hbar }{2}\\
\cancel{\hbar}\,\sqrt{\,\frac{1}{2}\,\left(\frac{\pi ^{2}}{6}-1\right)\,}\ge\frac{\cancel{\hbar}}{2}\\
\sqrt{\,\frac{1}{2}\,\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)\,}\ge \frac{1}{2}
\end{gather}
\]
substituindo os valores
\[
\begin{gather}
\sqrt{\,\frac{1}{2}.\left(\frac{3,14^{2}}{6}-1\right)\,}\ge\frac{1}{2}\\
0,57\ge 0,50
\end{gather}
\]
e assim verificamos que o
Princípio da Incerteza de Heisenberg é válido.
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