Exercício Resolvido de Força Elétrica
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Queremos repartir uma carga Q entre dois corpos. Um dos corpos recebe uma carga q1 e o outro uma carga q2. A repartição das cargas é feita de tal modo que se tenha q1+q2=Q. Determine a razão entre as cargas para que a repulsão coulombiana entre q1 e q2 seja máxima para qualquer distância entre as cargas.
Solução:
O problema nos dá a condição de que a soma das cargas repartidas é a carga total
\[
\begin{gather}
Q=q_1+q_2 \tag{I}
\end{gather}
\]
A força elétrica Fel é dada pela Lei de Coulomb
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{el}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_{\small A}||q_{\small B}|}{r^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{el}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} \tag{II}
\end{gather}
\]
Da condição (I) podemos escrever a carga q2 em função da carga q1
\[
\begin{gather}
q_2=Q-q_1 \tag{III}
\end{gather}
\]
definindo o termo constante como
\( k_0=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \)
e substituindo a equação (III) na equação (II)
\[
\begin{gather}
F_{el}=k_0\frac{q_1(Q-q_1)}{r^2}\\[5pt]
F_{el}=\frac{k_0}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para encontrar o ponto de máximo da equação (IV) derivamos a função em relação a q1 e
igualamos a zero.
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_1}=0\\[5pt]
\frac{d}{dq_1}\left[\frac{k_0}{r^2}(Qq_1-q_1^2)\right]=0
\end{gather}
\]
Derivada de \( \displaystyle F_{el}=\frac{k_0}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \)
o termo \( \frac{k_0}{r^2} \) é constante e sai da derivada e a derivada da diferença é a diferença das derivadas
o termo \( \frac{k_0}{r^2} \) é constante e sai da derivada e a derivada da diferença é a diferença das derivadas
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_0}{r^2}\left[\frac{d}{dq_1}(Qq_1)-\frac{d}{dq_1}(q_1^2)\right]\\[5pt]
\frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_0}{r^2}\left[Q-2q_1\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{k_0}{r^2}(Q-2q_1)=0\\[5pt]
Q-2q_1=0\times \frac{r^2}{k_0}\\[5pt]
Q-2q_1=0\\[5pt]
2q_1=Q\\[5pt]
q_1=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
substituindo este resultado na equação (III) obtemos o valor de q2
\[
\begin{gather}
q_2=Q-\frac{Q}{2}\\[5pt]
q_2=\frac{2Q-Q}{2}\\[5pt]
q_2=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q_1=q_2=\frac{Q}{2}}
\end{gather}
\]
O resultado independe da distância r entre as cargas e a força é máxima quando a carga total é
repartida igualmente entre os corpos.
Observação 1: a equação (IV) representa uma função quadrática com o termo de maior grau
negativo, q1 < 0, portanto representa uma parábola de “boca” para baixo, assim a
função tem um ponto de máximo.
Observação 2: o mesmo resultado seria obtido se escrevêssemos q1 em função de q2, \( q_1=Q-q_2 \), e derivássemos a força em função de q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_2}=0\right) \).
Observação 2: o mesmo resultado seria obtido se escrevêssemos q1 em função de q2, \( q_1=Q-q_2 \), e derivássemos a força em função de q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_2}=0\right) \).
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