Exercice Résolu sur les Force Électrique
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PT-BR
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Nous voulons répartir une charge Q entre deux corps. L'un des corps reçoit une charge q1 et l'autre une charge q2. La répartition des charges est effectuée de telle sorte que q1+q2=Q. Déterminer le rapport entre les charges pour que la répulsion coulombienne entre q1 et q2 soit maximale, quelle que soit la distance entre les charges.
Solution:
Le problème nous donne la condition que la somme des charges réparties est la charge totale
\[
\begin{gather}
Q=q_1+q_2 \tag{I}
\end{gather}
\]
La force électrique Fel est donnée par la Loi de Coulomb
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{el}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_{\small A}||q_{\small B}|}{r^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{el}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} \tag{II}
\end{gather}
\]
À partir de la condition (I), nous pouvons exprimer la charge q2 en fonction de la charge
q1
\[
\begin{gather}
q_2=Q-q_1 \tag{III}
\end{gather}
\]
en définissant le terme constant comme
\( k_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \)
et en substituant l'équation (III) dans l'équation (II)
\[
\begin{gather}
F_{el}=k_e\frac{q_1(Q-q_1)}{r^2}\\[5pt]
F_{el}=\frac{k_e}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \tag{IV}
\end{gather}
\]
Pour trouver le point de maximum de l'équation (IV), nous dérivons la fonction par rapport à
q1 et nous l'égalisons à zéro
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_1}=0\\[5pt]
\frac{d}{dq_1}\left[\frac{k_e}{r^2}(Qq_1-q_1^2)\right]=0
\end{gather}
\]
Dérivée de \( \displaystyle F_{el}=\frac{k_e}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \)
le terme \( \frac{k_e}{r^2} \) sort de la dérivée, et la dérivée de la différence est la différence des dérivées.
le terme \( \frac{k_e}{r^2} \) sort de la dérivée, et la dérivée de la différence est la différence des dérivées.
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_e}{r^2}\left[\frac{d}{dq_1}(Qq_1)-\frac{d}{dq_1}(q_1^2)\right]\\[5pt]
\frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_e}{r^2}\left[Q-2q_1\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{k_e}{r^2}(Q-2q_1)=0\\[5pt]
Q-2q_1=0\times \frac{r^2}{k_e}\\[5pt]
Q-2q_1=0\\[5pt]
2q_1=Q\\[5pt]
q_1=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
en substituant ce résultat dans l'équation (III), nous obtenons la valeur de q2
\[
\begin{gather}
q_2=Q-\frac{Q}{2}\\[5pt]
q_2=\frac{2Q-Q}{2}\\[5pt]
q_2=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q_1=q_2=\frac{Q}{2}}
\end{gather}
\]
Le résultat est indépendant de la distance r entre les charges, et la force est maximale lorsque la
charge totale est répartie également entre les corps.
Remarque 1: l'équation (IV) représente une fonction quadratique avec le terme de plus haut
degré négatif, q1 < 0, donc elle représente une parabole ouverte vers le bas, ainsi
la fonction a un point de maximum.
Remarque 2: le même résultat serait obtenu si nous écrivions q1 en fonction de q2, \( q_1=Q-q_2 \), et dérivions la force par rapport à q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_{2}}=0\right) \).
Remarque 2: le même résultat serait obtenu si nous écrivions q1 en fonction de q2, \( q_1=Q-q_2 \), et dérivions la force par rapport à q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_{2}}=0\right) \).
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