Ejercicio Resuelto sobre Fuerza Eléctrica
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Queremos repartir una carga Q entre dos cuerpos. Uno de los cuerpos recibe una carga q1 y el otro una carga q2. La repartición de las cargas se hace de tal manera que se tenga q1+q2=Q. Determine la razón entre las cargas para que la repulsión coulombiana entre q1 y q2 sea máxima para cualquier distancia entre las cargas.
Solución:
El problema nos da la condición de que la suma de las cargas repartidas es la carga total
\[
\begin{gather}
Q=q_1+q_2 \tag{I}
\end{gather}
\]
La fuerza eléctrica Fel se da por la Ley de Coulomb
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{F_{el}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_{\small A}||q_{\small B}|}{r^2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
F_{el}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} \tag{II}
\end{gather}
\]
De la condición (I) podemos escribir la carga q2 en función de la carga q1
\[
\begin{gather}
q_2=Q-q_1 \tag{III}
\end{gather}
\]
definiendo el término constante como
\( k_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \)
y sustituyendo la ecuación (III) en la ecuación (II).
\[
\begin{gather}
F_{el}=k_e\frac{q_1(Q-q_1)}{r^2}\\[5pt]
F_{el}=\frac{k_e}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \tag{IV}
\end{gather}
\]
Para encontrar el punto máximo de la ecuación (IV), derivamos la función con respecto a q1
y la igualamos a cero.
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_1}=0\\[5pt]
\frac{d}{dq_1}\left[\frac{k_e}{r^2}(Qq_1-q_1^2)\right]=0
\end{gather}
\]
Derivada de \( \displaystyle F_{el}=\frac{k_e}{r^2}(Qq_1-q_1^2) \)
el término \( \frac{k_e}{r^2} \) sale de la derivada, y la derivada de la diferencia es la diferencia de las derivadas.
el término \( \frac{k_e}{r^2} \) sale de la derivada, y la derivada de la diferencia es la diferencia de las derivadas.
\[
\begin{gather}
\frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_e}{r^2}\left[\frac{d}{dq_1}(Qq_1)-\frac{d}{dq_1}(q_1^2)\right]\\[5pt]
\frac{dF_{el}}{dq_1}=\frac{k_e}{r^2}\left[Q-2q_1\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{k_e}{r^2}(Q-2q_1)=0\\[5pt]
Q-2q_1=0\times \frac{r^2}{k_e}\\[5pt]
Q-2q_1=0\\[5pt]
2q_1=Q\\[5pt]
q_1=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
sustituyendo este resultado en la ecuación (III), obtenemos el valor de q2
\[
\begin{gather}
q_2=Q-\frac{Q}{2}\\[5pt]
q_2=\frac{2Q-Q}{2}\\[5pt]
q_2=\frac{Q}{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q_1=q_2=\frac{Q}{2}}
\end{gather}
\]
El resultado es independiente de la distancia r entre las cargas, y la fuerza es máxima cuando la
carga total se reparte igualmente entre los cuerpos.
Observación 1: la ecuación (IV) representa una función cuadrática con el término de mayor
grado negativo, q1 < 0, por lo tanto, representa una parábola que se abre hacia abajo,
así que la función tiene un punto máximo.
Observación 2: el mismo resultado se obtendría si escribiéramos q1 en función de q2, \( q_1=Q-q_2 \), y deriváramos la fuerza en función de q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_2}=0\right) \).
Observación 2: el mismo resultado se obtendría si escribiéramos q1 en función de q2, \( q_1=Q-q_2 \), y deriváramos la fuerza en función de q2, \( \left(\frac{dF_{el}}{dq_2}=0\right) \).
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