Exercício Resolvido de Estática
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Para o sistema em equilíbrio na figura, determine as tensões nas cordas A e B sabendo que o corpo C tem 100 N.


Dado do problema:
  • Peso do corpo C:     P = 100 N.
Esquema do problema:

As forças que atuam no sistema são a força peso \( \vec P \) do bloco C que aponta para baixo e as tensões nas cordas. A corda que sustenta o bloco apenas transmite a força peso do bloco para o ponto onde está fixa às outras cordas.
A corda A faz um ângulo de 60° com o teto, traçando uma linha horizontal que passa pelo ponto onde está presa ao corpo C, temos que a força de tensão \( {\vec T}_A \) também forma um ângulo de 60° com a horizontal, estes ângulos são alternos internos.
A corda B faz um ângulo de 60° com a parede vertical, o ângulo entre a força de tensão \( {\vec T}_B \) e a corda que sustenta o bloco C também é 60°, estes ângulos são alternos internos. O ângulo entre a linha horizontal e a força de tensão \( {\vec T}_B \) é de 30° com a horizontal, são ângulos complementares, somam 90°.
Figura 1

Solução:

Desenhamos as forças em um sistema em sistema de eixos coordenados xy e decompomos as forças nessas direções (Figura 2). A força peso \( \vec P \) tem apenas a componente na direção y negativo. A força de tensão \( {\vec T}_A \) possui a componente \( {\vec T}_{Ax} \) na direção x positivo e a componente \( {\vec T}_{Ay} \) na direção y positivo. A força tensão \( {\vec T}_B \) possui a componente \( {\vec T}_{Bx} \) na direção x negativo e a componente \( {\vec T}_{By} \) na direção y negativo.
Como o sistema está em equilíbrio, a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum \vec{F}=0} \end{gather} \]
Figura 2

\[ \begin{gather} {\vec T}_A+{\vec T}_B+\vec P=0 \\[5pt] {\vec T}_{Ax}+{\vec T}_{Ay}-{\vec T}_{Bx}-{\vec T}_{By}-\vec P=0 \tag{I} \end{gather} \]
  • Direção x:
\[ \begin{gather} {\vec T}_{Ax}=T_A\cos 60° \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} {\vec T}_{Bx}=T_B\cos 30° \tag{III} \end{gather} \]
A força peso não possui componente na direção x.
  • Direção y:
\[ \begin{gather} {\vec T}_{Ay}=T_A\operatorname{sen}60° \tag{IV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} {\vec T}_{Bx}=T_B\operatorname{sen}30° \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo as equações (II), (III), (IV) e (V) na equação (I) e separando as componentes nas direções x e y
  • Direção x:
\[ \begin{gather} T_A\cos 60°-T_B\cos 30°=0 \end{gather} \]
  • Direção y:
\[ \begin{gather} T_A\operatorname{sen}60°-T_B\operatorname{sen}30°-P=0 \end{gather} \]

Da Trigonometria
\( \cos 30°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \), \( \sin 30°=\dfrac{1}{2} \),

\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \), \( \operatorname{sen}60°\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \).

\[ \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}T_A-\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}T_B=0 \\ \dfrac{\sqrt{3\;}}{2}T_A-\dfrac{1}{2}T_B-100=0 \end{array} \right. \]
Este é um sistema de duas equações a duas incógnitas (TA e TB). Isolando o valor de TA na primeira equação do sistema e substituindo na segunda equação
\[ \begin{gather} \frac{1}{\cancel 2}T_A=\frac{\sqrt{3\;}}{\cancel 2}T_B\\[5pt] T_A=\sqrt{3\;}\;T_B \tag{VI} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\sqrt{3\;}}{2}\times\sqrt{3\;}\;T_B-\frac{1}{2}T_B-100=0 \\[5pt] \frac{3}{2}T_B-\frac{1}{2}T_B=100 \\[5pt] \frac{2}{2}T_B=100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_B=100\;\mathrm N} \end{gather} \]
substituindo o valor encontrado acima na equação (VI), obtemos TA
\[ \begin{gather} T_A=\sqrt{3\;}\times 100 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T_A \approx 173\;\mathrm N} \end{gather} \]
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