Exercício Resolvido de Movimento Relativo
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Um operário segura uma das extremidades de uma tábua reta, de comprimento a, enquanto a outra extremidade se apoia sobre um tambor cilíndrico de maneira que a tábua fique na posição horizontal. Ao mover a tábua para frente, o operário faz o tambor rolar, sem escorregar ao longo do plano horizontal e durante o deslocamento a tábua permaneçe na horizontal. Determine a distância d que irá percorrer o operário até que a extremidade segura por ele toque o tambor.


Dado do problema:
  • Comprimento da tábua:    a.
Solução

Vamos chamar \( {\vec v}_{\small C} \) a velocidade do centro do tambor em relação ao solo, \( {\vec v}_{\small{B/C}} \) a velocidade do ponto de contato entre o tambor e a tábua em relação ao centro do tambor e \( {\vec v}_{\small B} \) a velocidade do ponto de contato entre o tambor e a tábua em relação ao solo (Figura 1). Adotamos v para a velocidade do centro do tambor, a velocidade do ponto de contato em relação ao centro também será v (se esta velocidade fosse maior ou menor o tambor se deformaria), então podemos calcular a velocidade do ponto de contato em relação ao solo
Figura 1

\[ \begin{gather} {\vec v}_{\small B}={\vec v}_{\small C}+{\vec v}_{\small{B/C}} \end{gather} \]
como todos os vetores têm a mesma direção, em módulo
\[ \begin{gather} v_{\small B}=v+v\\[5pt] v_{\small B}=2v \end{gather} \]
Figura 2

Como a tábua passa pelo tambor sem escorregar todos os pontos da tábua têm a mesma velocidade 2v que o ponto de contato. O ponto de contato do operário com a tábua também tem a velocidade de 2v, o próprio operário se move com velocidade de 2v (Figura 2).

Figura 3

O problema começa com uma ponta da tábua sendo segura pelo operário e a outra ponta apoiada no tambor, este ponto de apoio está exatamente sobre o centro do tambor (Figura 3). O problema termina quando a mão do operário está em contato com o tambor, neste momento ela estará sobre o centro do tambor.

Então podemos “esquecer” o operário, o tambor e a tábua (Figura 4) e reduzir o problema ao encontro de dois pontos materiais. Adotamos um sistema de referência orientado para a esquerda (ao contrário do que se faz usualmente), um ponto representa a mão do operário partindo da origem S0H = 0 com velocidade inicial v0H = vH = 2v e outro ponto representando o centro do tambor que parte de um ponto S0C = a com velocidade v0C = vC = v. Como as velocidades dos pontos são constantes eles estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), a equação desse movimento é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+vt} \end{gather} \]
Figura 4

escrevendo esta equação para os dois pontos
\[ \begin{gather} S_{\small H}=S_{0\small H}+v_{\small H}t\\[5pt] S_{\small H}=0+2vt\\[5pt] S_{\small H}=2vt \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_{\small C}=S_{0\small C}+v_{\small C}t\\[5pt] S_{\small C}=a+vt \tag{II} \end{gather} \]
para que eles se encontrem devem ocupar a mesma posição, então devemos impor a condição
\[ \begin{gather} S_{\small H}=S_{\small C} \end{gather} \]
igualando as equações (I) e (II) obtemos o tempo que leva para os pontos se encontrarem
\[ \begin{gather} 2vt=a+vt\\[5pt] 2vt-vt=a\\[5pt] a=vt\\[5pt] t=\frac{a}{v} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo a expressão (III) na equação (I) temos a distância percorrida pelo homem
\[ \begin{gather} S_{\small H}=2\cancel v \frac{a}{\cancel v} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_{\small H}=2a} \end{gather} \]
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