Exercício Resolvido de Movimento Relativo
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Um barco que desenvolve uma velocidade constante de 10,8 km/h quer atravessar perpendicularmente um rio, cujas águas têm velocidade constante de 1,5 m/s.
a) Em que direção deveria o piloto manter o eixo longitudinal do barco em relação à normal com a correnteza?
b) Qual a velocidade do barco em relação à margem do rio?

Dados do problema:

  • Módulo da velocidade do barco em relação ao rio: vb/a = 10,8 km/h;
  • Módulo da velocidade do rio em relação à margem: va = 1,5 m/s.

Esquema do problema:

Figura 1

Solução:

Em primeiro lugar devemos converter a velocidade do barco dada em quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s) usada no Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

\[ \begin{gather} v_{b/a}=10,8\;\mathrm{\frac{\cancel{km}}{1\cancel h}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel h}}{3600\;\mathrm s}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}=\frac{10,8}{3,6}\;\mathrm{\frac{m}{s}}=3\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]

a) Vemos que (Figura 1-A), se \( {\vec v}_a \) é o vetor velocidade das águas do rio, o vetor normal a este vetor será dado pelo vetor \( {\vec v}_b \). Em relação ao vetor \( {\vec v}_b \), o barco deve manter uma direção dada pelo vetor \( {\vec v}_{b/a} \) que faz um ângulo θ com \( {\vec v}_b \) (Figura 1-B). O problema nos dá o cateto \( {\vec v}_a \) e a hipotenusa \( {\vec v}_{b/a} \) do triângulo retângulo da figura, o ângulo θ será

\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{v_a}{v_{b/a}}=\frac{1,5}{3}=\frac{1}{2} \end{gather} \]
Da Trigonometria o ângulo θ será o arco cujo seno é   \( \frac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} \theta =\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)=30° \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta=30°} \end{gather} \]

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo da Figura 1-B, onde \( {\vec v}_{b/a} \) é a hipotenusa, \( {\vec v}_a \) e \( {\vec v}_b \) são os catetos

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec v}_b={\vec v}_a+{\vec v}_{b/a}} \end{gather} \]

o módulo será

\[ \begin{gather} v_{b/a}^2=v_a^2+v_b^2 \\[5pt] v_b^2=v_{b/a}^2-v_a^2 \\[5pt] v_b^2=3^2-1,5^2 \\[5pt] v_b^2=9-2,25 \\[5pt] v_b=\sqrt{6,25\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{b}=2,6\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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