Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Relativo
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Un barco que desarrolla una velocidad constante de 10,8 km/h desea cruzar perpendicularmente un río cuyas aguas tienen una velocidad constante de 1,5 m/s.
a) ¿En qué dirección debería el piloto mantener el eje longitudinal del barco en relación con la normal a la corriente?
b) ¿Cuál es la velocidad del barco con respecto a la orilla del río?

Datos del problema:
  • Módulo de la velocidad del barco con respecto al río:    vb/a = 10,8 km/h;
  • Módulo de la velocidad del río con respecto a la orilla:    va = 1,5 m/s.
Esquema del problema:

Figura 1

Solución

En primer lugar, debemos convertir la velocidad del barco dada en kilómetros por hora (km/h) a metros por segundo (m/s), que es la unidad utilizada en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[ \begin{gather} v_{b/a}=10,8\;\mathrm{\frac{\cancel{km}}{1\cancel h}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel h}}{3600\;\mathrm s}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}=\frac{10,8}{3,6}\;\mathrm{\frac{m}{s}}=3\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
a) Observamos que (Figura 1-A), si \( {\vec v}_a \) es el vector velocidad de las aguas del río, el vector normal a este vector estará dado por el vector \( {\vec v}_b \). En relación al vector \( {\vec v}_b \), el barco debe mantener una dirección dada por el vector \( {\vec v}_{b/a} \) que forma un ángulo θ con \( {\vec v}_b \) (Figura 1-B). El problema nos proporciona el cateto \( {\vec v}_a \) y la hipotenusa \( {\vec v}_{b/a} \) del triángulo rectángulo de la figura, entonces el ángulo θ será
\[ \begin{gather} \operatorname{sen}\theta =\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{v_a}{v_{b/a}}=\frac{1,5}{3}=\frac{1}{2} \end{gather} \]

Por Trigonometría, el ángulo θ será el arco cuyo seno es   \( \frac{1}{2} \)
\[ \begin{gather} \theta =\operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)=30° \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\theta=30°} \end{gather} \]

b) Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo de la Figura 1-B, donde \( {\vec v}_{b/a} \) es la hipotenusa, \( {\vec v}_a \) y \( {\vec v}_b \) son los catetos
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec v}_b={\vec v}_a+{\vec v}_{b/a}} \end{gather} \]
el módulo será
\[ \begin{gather} v_{b/a}^2=v_a^2+v_b^2\\[5pt] v_b^2=v_{b/a}^2-v_a^2\\[5pt] v_b^2=3^2-1,5^2\\[5pt] v_b^2=9-2,25\\[5pt] v_b=\sqrt{6,25\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{b}=2,6\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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