Exercício Resolvido de Movimento Bidimensional e Movimento Relativo

Exercício Resolvido de Movimento Bidimensional

Do vértice de um ângulo reto partem, com intervalo de tempo igual à n segundos, dois motoristas, que se locomovem com velocidades constantes sobre os dois lados. Calcular as velocidades dos dois motoristas, sabendo-se que após t segundos, desde a partida do segundo motorista, sua distância é d, e após T segundos é D.

Dados do problema:

Intervalo de tempo entre as partidas dos dois motoristas: n;
Distância entre os móveis após t segundos: d;
Distância entre os móveis após T segundos: D.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência com 2 eixos perpendiculares entre si. O primeiro móvel parte da origem com velocidade v₁ na direção x, após n segundos o segundo móvel parte da origem com velocidade constante v₂ na direção y. Durante o intervalo de tempo n o móvel 1 terá percorrido uma distância igual a v₁.n, esta distância será a posição inicial do móvel 1 quando do início da contagem do tempo, o móvel 2 que parte da origem terá posição inicial igual a zero (Figura 1).

Figura 1

Solução

Os móveis têm velocidades constantes, eles descrevem um Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), a equação deste movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v\tau} \tag{I} \end{gather} \]

Observação: Aqui o tempo está representado por τ ao invés de t, geralmente usado, para não confundir com o intervalo de tempo t dado no problema.

Escrevendo a equação (I) para móveis 1 e 2 nos intervalos de tempo t e T

\[ \begin{gather} S_1(\tau)=S_{01}+v_1\tau\\[5pt] S_1(t)=v_1 n+v_1 t=v_1(n+t) \tag{II}\\[5pt] S_1(T)=v_1 n+v_1 T=v_1(n+T) \tag{III} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2(\tau)=S_{02}+v_2\tau\\[5pt] S_2(t)=0+v_2t=v_2t \tag{IV}\\[5pt] S_2(T)=0+v_2T=v_2T \tag{V} \end{gather} \]

Na Figura 2 temos, S₁(t) o espaço percorrido pelo móvel 1 no intervalo de tempo t, e S₂(t) o espaço percorrido pelo móvel 2 neste intervalo de tempo, usando o Teorema de Pitágoras

\[ \begin{gather} h^2=S_1(t)^2+S_2(t)^2 \tag{VI} \end{gather} \]

Substituindo as equações (II), (III), (IV) e (V) na condição (VI)

\[ \left\{ \begin{array}{l} d^2=[v_1(n+t)]^2+v_2^2t^2\\ D^2=[v_1(n+T)]^2+v_2^2T^2 \tag{VII} \end{array} \right. \]

este é um sistema de duas equações a duas incógnitas, v₁ e v₂, isolando \( v_2^2 \) na primeira equação do sistema (VII)

\[ \begin{gather} v_2^2=\frac{d^2-[v_1(n+t)]^2}{t^2} \tag{VIII} \end{gather} \]

substituindo este valor na segunda equação do sistema (VII)

\[ \begin{gather} D^2=[v_1(n+T)]^2+\left\{\frac{d^2-[v_1(n+t)]^2}{t^2}\right\}T^2 \end{gather} \]

Figura 2

multiplicando esta equação por t₂

\[ \begin{gather} D^2t^2=[v_1(n+T)]^2t^2+\left\{\frac{d^2-[v_1(n+t)]^2}{\cancel{t^2}}\right\}T^2\cancel{t^2}\\[5pt] D^2t^2=[v_1(n+T)]^2t^2+\left\{d^2-[v_1(n+t)]^2\right\}T^2\\[5pt] D^2t^2=[v_1(n+T)]^2t^2+d^2T^2-[v_1(n+t)]^2T^2\\[5pt] D^2t^2-d^2T^2=v_1^2(n+T)^2t^2-v_1^2(n+t)^2T^2 \end{gather} \]

colocando \( v_1^2 \) em evidência do lado direito da equação

\[ \begin{gather} D^2t^2-d^2T^2=v_1^2[(n+T)^2t^2-(n+t)^2T^2] \end{gather} \]

Dos Produtos Notáveis

\[ \begin{gather} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{gather} \]

aplicando este produto aos termos \( (n+T)^2 \) e \( (n+t)^2 \)

\[ \begin{gather} D^2t^2-d^2T^2=v_1^2[(n^2+2nT+T^2)t^2-(n^2+2nt+t^2)T^2]\\[5pt] D^2t^2-d^2T^2=v_1^2[n^2t^2+2nTt^2+T^2t^2-n^2T^2-2ntT^2-t^2T^2]\\[5pt] D^2t^2-d^2T^2=v_1^2[n^2t^2+2nTt^2-n^2T^2-2ntT^2] \end{gather} \]

colocando n² e 2ntT em evidência no termo entre colchetes

\[ \begin{gather} D^2t^2-d^2T^2=v_1^2[n^2(t^2-T^2)+2ntT(t-T)] \end{gather} \]

Dos Produtos Notáveis

\[ \begin{gather} \left(a^2-b^2\right)=(a+b)(a-b) \end{gather} \]

aplicando este produto ao termo \( \left(t^2-T^2\right) \)

\[ \begin{gather} D^2t^2-d^2T^2=v_1^2[n^2(t+T)(t-T)+2ntT(t-T)] \end{gather} \]

colocando o termo n(t-T) em evidência dentro dos colchetes

\[ \begin{gather} D^2t^2-d^2T^2=v_1^2\left\{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]\right\}\\[5pt] v_1^2=\frac{D^2t^2-d^2T^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]} \tag{IX} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_1=\pm\sqrt{\frac{D^2t^2-d^2T^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}}} \end{gather} \]

Substituindo este valor em \( v_1^2 \), dado na forma da equação (IX), na equação (VIII) e colocando o termo \( \frac{1}{t^2} \) em evidência teremos o valor de v₂

\[ \begin{gather} v_2^2=\frac{d^2-[v_1(n+t)]^2}{t^2}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left[d^2-v_1^2(n+t)^2\right]\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{d^2-\frac{D^2t^2-d^2T^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}(n+t)^2\right\} \end{gather} \]

o termo \( n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right] \) é o fator comum dos termos entre chaves

\[ \begin{gather} v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[n^2(t+T)(t-T)+2tTn(t-T)\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[n^2(t^2-T^2)+2t^2Tn-2tT^2n\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[n2t^2-n^2T^2+2t^2Tn-2tT^2n\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\} \end{gather} \]

no termo entre colchetes \( n^2t^2-n^2T^2+2t^2Tn-2tT^2n \), vamos agrupar os termos da seguinte maneira \( (n^2t^2+2t^2Tn)+(-n^2T^2-2tT^2n). \)

\[ (n^2t^2+2t^2Tn)+(-n^2T^2-2tT^2n) \]

. No primeiro termo entre parênteses colocamos t² em evidência e no segundo termo colocamos \( -T^2 \) em evidência

\[ \begin{gather} v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[(n^2t^2+2t^2Tn)+(-n^2T^2-2tT^2n)\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[t^2(n^2+2Tn)-T^2(n^2+2tn)\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\} \end{gather} \]

no termo entre colchetes vamos somar e subtrair T² no primeiro termo entre parênteses e no segundo termo entre parênteses vamos somar e subtrair t₂.

Observação: Os termos entre parênteses \( n^2+2Tn \) e \( n^2+2tn \) são semelhantes ao Produto Notável \( a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \), a menos do termo b² que está faltando (T² na primeira equação e t² na segunda equação).
Então podemos usar o Método de Completar Quadrados, se tivermos uma equação da forma \( a^2+2ab \) somando e subtraindo o quadrado do termo que está faltando nada se altera, estamos somando zero na equação, \( a^2+2ab+\underbrace{b^2-b^2}_{0} \), Os três primeiros termos formam um Produto Notável \( \underbrace{a^2+2ab+b^2}_{(a+b)^2}-b^2 \), então podemos escrever a nossa equação original na forma \( a^2+2ab=(a+b)^2-b^2 \).

\[ \begin{gather} v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[(n^2+2Tn+T^2-T^2)t^2-(n^2+2tn+t^2-t^2)T^2\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\} \end{gather} \]

os termos \( n^2+2Tn+T^2 \) e \( n^2+2tn+t^2 \) são da mesma forma do Produto Notável \( (a+b)^2 \)

\[ \begin{gather} v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[((n+T)^2-T^2)t^2-((n+t)^2-t^2)T^2\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[(n+T)^2t^2-T^2t^2-(n+t)^2T^2+t^2T^2\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2\left[(n+T)^2t^2-(n+t)^2T^2\right]-(D^2t^2-d^2T^2)(n+t)^2}{n(t-T)\left[\;n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2(n+T)^2t^2-d^2(n+t)^2T^2-D^2(n+t)^2t^2+d^2(n+t)^2T^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{1}{t^2}\left\{\frac{d^2(n+T)^2t^2-D^2(n+t)^2t^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}\right\}\\[5pt] v_2^2=\frac{d^2(n+T)^2-D^2(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_2=\pm\sqrt{\frac{d^2(n+T)^2-D^2(n+t)^2}{n(t-T)\left[n(t+T)+2tT\right]}}} \end{gather} \]

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