Exercício Resolvido de Movimento Bidimensional
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De dois pontos A e B situados a uma distância de 1000 m um do outro, sobre um mesmo plano horizontal, lançam-se simultaneamente dois foguetes. Um parte do ponto B com uma velocidade inicial de 200 m/s dirigida de baixo para cima e outro do ponto A na direção da vertical que passa por B, formando um ângulo de 60° com o horizonte. Determinar:
a) A velocidade inicial do foguete A para que intercepte o segundo;
b) Depois de quanto tempo se dá o encontro dos dois foguetes;
c) A que altura se dá o encontro;
d) Verificar se esse encontro se efetua durante a subida ou queda do primeiro foguete.


Dados do problema:
  • Distância entre os pontos A e B de lançamento:    d = 1000 m;
  • Ângulo de lançamento do foguete A:    θ = 60°;
  • Velocidade inicial do foguete B:    v0B = 200 m/s;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no solo com o eixo Ox apontando para a direita e Oy para cima, a aceleração da gravidade está apontada para baixo e o ponto de onde parte o foguete A está em (x0A, y0A) = (0, 0), e o foguete B está em (x0B, y0B) = (0, 1000), (Figura 1).

Figura 1

Solução

O movimento do foguete disparado de A pode ser decomposto nos eixos x e y. A velocidade inicial v0A com que ele é disparado tem componentes nas direções x e y (Figura 2)
\[ \begin{gather} v_{0Ax}=v_{0A}\cos 60°\\[10pt] v_{0Ay}=v_{0A}\operatorname{sen}60° \end{gather} \]
Figura 2

Da Trigonometria,   \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)   e   \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} v_{0Ax}=\frac{1}{2}v_{0A} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{0Ay}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A} \tag{II} \end{gather} \]
Na direção x não há aceleração atuando sobre o foguete, ele está em Movimento Uniforme (M.U.) e seu movimento é dado pela equação
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+vt} \end{gather} \]
como no movimento uniforme vAx = v0Ax é constante podemos substituir vAx pelo valor de (I) e S0Ax = 0
\[ \begin{gather} S_{Ax}=S_{0Ax}+v_{Ax}t\\[5pt] S_{Ax}=0+\frac{1}{2}v_{0A}t\\[5pt] S_{Ax}=\frac{1}{2}v_{0A}t \tag{III} \end{gather} \]
Na direção y o foguete está sob a ação da aceleração da gravidade, está em Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.), as equações da posição e da velocidade são da forma
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0 t-\frac{g}{2}t^2} \tag{IV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0-gt} \end{gather} \]
substituindo v0Ay pelo valor dado em (II) e S0Ay = 0
\[ \begin{gather} S_{Ay}=S_{0Ay}+v_{0Ay}t-\frac{g}{2}t^2\\[5pt] S_{Ay}=0+\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t-\frac{9,8}{2}t^2\\[5pt] S_{Ay}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t-4,9t^2 \tag{V} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} v_{Ay}=v_{0ay}-gt\\[5pt] v_{Ay}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}-9,8t \tag{VI} \end{gather} \]
o sinal negativo indica que a aceleração da gravidade está contra a orientação do referencial.
Na Figura 3 vemos que no movimento ao longo da direção x temos que para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços iguais (Δx1 = Δx2 = Δx3 = Δx4 = Δx5 = Δx6). Na direção y no instante em que o foguete é lançado a velocidade vy começa a diminuir, para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços cada vez menores (Δy1 > Δy2 > Δy3 > Δy4 > Δy5 > Δy6).
O foguete disparado de B só tem movimento ao longo do eixo-y, está sob a ação da aceleração da gravidade em Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.), aplicando a equação (IV)
\[ \begin{gather} S_B=S_{0B}+v_{0B}t-\frac{g}{2}t^2 \end{gather} \]
Figura 3

substituindo v0B pelo valor dado no problema e S0B = 0
\[ \begin{gather} S_B=0+200t-\frac{9,8}{2}t^2\\[5pt] S_B=200t-4,9t^2 \tag{VII} \end{gather} \]

a) Para que ocorra o encontro devemos ter a condição
\[ \begin{gather} S_{Ay}=S_B \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t-4,9t^2=200t-4,9t^2\\[5pt] \frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t=200t-4,9t^2+4,9t^2\\[5pt] \frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}\cancel t=200\cancel t\\[5pt] v_{0A}=\frac{2\times 200}{\sqrt{3\;}}\\[5pt] v_{0A}=\frac{400}{\sqrt{3\;}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{0A}\approx 231\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]

b) Como o foguete que parte de B sobe verticalmente, o foguete que parte de A deve percorrer a distância de 1000 m na direção x para interceptá-lo, substituindo o valor do item anterior e SAx = 1000 m na equação (III)
\[ \begin{gather} 1000=\frac{1}{2}\times 231t\\[5pt] t=\frac{2\times 1000}{231}\\[5pt] t=\frac{2000}{231} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t\approx 8,6\;\mathrm{s}} \end{gather} \]

c) O foguete B subirá verticalmente até ocorrer o encontro, substituindo o valor do item anterior na equação (VII)
\[ \begin{gather} S_B=200\times 8,6-4,9\times 8,6^2\\[5pt] S_B=1720-362 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_B\approx 1358\;\mathrm m} \end{gather} \]

Observação: Poderíamos encontrar o mesmo valor substituindo a velocidade do item (a) e o intervalo tempo encontrado em (b) na equação (V).


d) Se o instante do encontro for menor que o intervalo de tempo para o foguete A atingir a altura máxima o encontro se dará durante a subida, se o instante for maior o encontro se dará durante a descida. Quando o foguete que parte de A atinge a altura máxima a componente da sua velocidade na direção y se anula vAy = 0, o tempo que o foguete de A leva para atingir essa altura será obtido substituindo essa condição e a velocidade do item (a) na equação (VI)
\[ \begin{gather} 0=\frac{\sqrt{3\;}}{2}\times 231-9,8t\\[5pt] \frac{\sqrt{3\;}}{2}\times 231=9,8t\\[5pt] t=\frac{\sqrt{3\;}\times 231}{2\times 9,8}\\[5pt] t\approx 20,4\;\mathrm s \end{gather} \]
Como o intervalo de tempo para o foguete atingir a altura máxima e maior que o intervalo de tempo para que o ocorra o encontro, o encontro de dá durante a subida do primeiro foguete.
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