Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Bidimensional
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De dos puntos A y B situados a una distancia de 1000 m uno del otro, sobre un mismo plano
horizontal, se lanzan simultáneamente dos cohetes. Uno parte del punto B con una velocidad inicial
de 200 m/s dirigida de abajo hacia arriba y otro del punto A en la dirección de la vertical que
pasa por B, formando un ángulo de 60° con el horizonte. Determinar:
a) La velocidad inicial del cohete A para que intercepte al segundo;
b) Después de cuánto tiempo se produce el encuentro de los dos cohetes;
c) A qué altura se produce el encuentro;
d) Verificar si este encuentro se efectúa durante la subida o la caída del primer cohete.
a) La velocidad inicial del cohete A para que intercepte al segundo;
b) Después de cuánto tiempo se produce el encuentro de los dos cohetes;
c) A qué altura se produce el encuentro;
d) Verificar si este encuentro se efectúa durante la subida o la caída del primer cohete.
Datos del problema:
- Distancia entre los puntos A y B de lanzamiento: d = 1000 m;
- Ángulo de lanzamiento del cohete A: θ = 60°;
- Velocidad inicial del cohete B: v0B = 200 m/s;
- Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s2.
Tomamos un sistema de referencia en el suelo con el eje Ox apuntando hacia la derecha y Oy hacia arriba, la aceleración de la gravedad está apuntando hacia abajo y el punto desde donde parte el cohete A está en (x0A, y0A) = (0, 0), y el cohete (x0B, y0B) = (0, 1000), (Figura 1).
Solución
El movimiento del cohete disparado desde A puede descomponerse en los ejes x e y. La
velocidad inicial v0A con la que es disparado tiene componentes en las
direcciones x e y (Figura 2).
\[
\begin{gather}
v_{0Ax}=v_{0A}\cos 60°\\[10pt]
v_{0Ay}=v_{0A}\operatorname{sen}60°
\end{gather}
\]
De la trigonometría,
\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
y
\( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
v_{0Ax}=\frac{1}{2}v_{0A} \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{0Ay}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A} \tag{II}
\end{gather}
\]
En la dirección x no hay aceleración actuando sobre el cohete, está en Movimiento Uniforme
(MU) y su movimiento está dado por la ecuación
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+vt}
\end{gather}
\]
como en el movimiento uniforme vAx = v0Ax es constante podemos
sustituir vAx por el valor de (I) y S0Ax = 0
\[
\begin{gather}
S_{Ax}=S_{0Ax}+v_{Ax}t\\[5pt]
S_{Ax}=0+\frac{1}{2}v_{0A}t\\[5pt]
S_{Ax}=\frac{1}{2}v_{0A}t \tag{III}
\end{gather}
\]
En la dirección y el cohete está bajo la acción de la aceleración de la gravedad, está en
Movimiento Uniformemente Variado (MUV), las ecuaciones de la posición y de la velocidad son de
la forma
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S=S_0+v_0 t-\frac{g}{2}t^2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=v_0-gt}
\end{gather}
\]
sustituyendo v0Ay por el valor dado en (II) y S0Ay = 0
\[
\begin{gather}
S_{Ay}=S_{0Ay}+v_{0Ay}t-\frac{g}{2}t^2\\[5pt]
S_{Ay}=0+\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t-\frac{9,8}{2}t^2\\[5pt]
S_{Ay}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t-4,9t^2 \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{Ay}=v_{0ay}-gt\\[5pt]
v_{Ay}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}-9,8t \tag{VI}
\end{gather}
\]
el signo negativo indica que la aceleración de la gravedad está en direccion opuesta de la orientación del
referencial.
En la Figura 3 vemos que en el movimiento a lo largo de la dirección x tenemos que para intervalos
de tiempos iguales tenemos intervalos de desplazamientos iguales
(Δx1 = Δx2 =
Δx3 = Δx4 = Δx5 =
Δx6).
En la dirección y en el instante en que el cohete es lanzado la velocidad vy
comienza a disminuir, para intervalos de tiempos iguales tenemos intervalos de desplazamientos cada vez
menores
(Δy1 > Δy2 > Δy3 >
Δy4 > Δy5 > Δy6).
El cohete disparado desde B solo tiene movimiento a lo largo del eje y, está bajo la acción de la aceleración de la gravedad en Movimiento Uniformemente Variado (MUV), aplicando la ecuación (IV)
El cohete disparado desde B solo tiene movimiento a lo largo del eje y, está bajo la acción de la aceleración de la gravedad en Movimiento Uniformemente Variado (MUV), aplicando la ecuación (IV)
\[
\begin{gather}
S_B=S_{0B}+v_{0B}t-\frac{g}{2}t^2
\end{gather}
\]
sustituyendo v0B por el valor dado en el problema y S0B = 0
\[
\begin{gather}
S_B=0+200t-\frac{9,8}{2}t^2\\[5pt]
S_B=200t-4,9t^2 \tag{VII}
\end{gather}
\]
a) Para que ocurra el encuentro debemos tener la condición
\[
\begin{gather}
S_{Ay}=S_B
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t-4,9t^2=200t-4,9t^2\\[5pt]
\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}t=200t-4,9t^2+4,9t^2\\[5pt]
\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_{0A}\cancel t=200\cancel t\\[5pt]
v_{0A}=\frac{2\times 200}{\sqrt{3\;}}\\[5pt]
v_{0A}=\frac{400}{\sqrt{3\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{0A}\approx 231\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
b) Como el cohete que parte de B sube verticalmente, el cohete que parte de A debe recorrer la distancia de 1000 m en la dirección x para interceptarlo, sustituyendo el valor del ítem anterior y SAx = 1000 m en la ecuación (III)
\[
\begin{gather}
1000=\frac{1}{2}\times 231t\\[5pt]
t=\frac{2\times 1000}{231}\\[5pt]
t=\frac{2000}{231}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t\approx 8,6\;\mathrm{s}}
\end{gather}
\]
c) El cohete B subirá verticalmente hasta que ocurra el encuentro, sustituyendo el valor del ítem anterior en la ecuación (VII)
\[
\begin{gather}
S_B=200\times 8,6-4,9\times 8,6^2\\[5pt]
S_B=1720-362
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{S_B\approx 1358\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
Observación: Podríamos encontrar el mismo valor sustituyendo la velocidad del ítem (a) y el
intervalo de tiempo encontrado en (b) en la ecuación (V).
d) Si el instante del encuentro es menor que el intervalo de tiempo para que el cohete A alcance la altura máxima, el encuentro se dará durante la subida, si el instante es mayor, el encuentro se dará durante la caída. Cuando el cohete que parte de A alcanza la altura máxima, la componente de su velocidad en la dirección y se anula vAy = 0, el tiempo que el cohete de A tarda en alcanzar esa altura se obtendrá sustituyendo esta condición y la velocidad del ítem (a) en la ecuación (VI).
\[
\begin{gather}
0=\frac{\sqrt{3\;}}{2}\times 231-9,8t\\[5pt]
\frac{\sqrt{3\;}}{2}\times 231=9,8t\\[5pt]
t=\frac{\sqrt{3\;}\times 231}{2\times 9,8}\\[5pt]
t\approx 20,4\;\mathrm s
\end{gather}
\]
Como el intervalo de tiempo para que el cohete alcance la altura máxima es mayor que el intervalo de tiempo
para que ocurra el encuentro, el encuentro se da durante la
subida del primer cohete.
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