Exercício Resolvido de Correntes Fictícias de Maxwell
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No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos.



Dados do problema:

Resistores:
  • R1 = 0,5 Ω;
  • R2 = 0,5 Ω;
  • R3 = 1 Ω;
  • R4 = 0,5 Ω;
  • R5 = 0,5 Ω;
  • R6 = 3 Ω;
  • R7 = 1 Ω.
Baterias:
  • E1 = 20 V;
  • E2 = 20 V;
  • E3 = 6 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. Na malha ABEFA temos a corrente i1 no sentido horário e na malha BCDEB temos a corrente i2 também sentido horário (Figura 1)

Figura 1

Aplicando a Lei das Malhas à malha i1 a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha i2 (Figura 2)

Figura 2
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} R_{2}i_{1}+R_{4}(i_{1}-i_{2})+E_{2}+R_{5}(i_{1}-i_{2})+R_{3}i_{1}+R_{1}i_{1}-E_{1}=0 \end{gather} \]
substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} 0,5i_{1}+0,5(i_{1}-i_{2})+20+0,5(i_{1}-i_{2})+1i_{1}+0,5i_{1}-20=0\\[5pt] 0,5i_{1}+0,5(i_{1}-i_{2})+0,5(i_{1}-i_{2})+1i_{1}+0,5i_{1}=0\\[5pt] 0,5i_{1}+0,5i_{1}-0,5i_{2}+0,5i_{1}-0,5i_{2}+1i_{1}+0,5i_{1}=0\\[5pt] 3i_{1}-i_{2}=0 \tag{I} \end{gather} \]
Esquecendo a malha i1 e aplicando a Lei da Malhas à malha i2, temos pela Figura 3, a partir do ponto B

Figura 3
\[ \begin{gather} R_{6}i_{2}+E_{3}+R_{7}i_{2}+R_{5}(i_{2}-i_{1})-E_{2}+R_{4}(i_{2}-i_{1})=0 \end{gather} \]
substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} 3i_{2}+6+1i_{2}+0,5(i_{2}-i_{1})-20+0,5(i_{2}-i_{1})=0\\[5pt] 3i_{2}+i_{2}+0,5i_{2}-0,5i_{1}-14+0,5i_{2}-0,5i_{1}=0\\[5pt] -i_{1}+5i_{2}=14 \tag{II} \end{gather} \]
Com as equações (I) e (II) temos um sistema de duas equações a duas incógnitas (i1 e i2)
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;3i_{1}-i_{2}=0\\ -i_{1}+5i_{2}=14 \end{array} \right. \]
isolando o valor de i2 na primeira equação
\[ \begin{gather} i_{2}=3i_{1} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo este valor na segunda equação
\[ \begin{gather} -i_{1}+5.3i_{1}=14\\[5pt] -i_{1}+15i_{1}=14\\[5pt] 14i_{1}=14\\[5pt] i_{1}=\frac{14}{14}\\[5pt] i_{1}=1\;\text{A} \end{gather} \]
Substituindo este valor na expressão (III)
\[ \begin{gather} i_{2}=3.1\\[5pt] i_{2}=3\;\text{A} \end{gather} \]
No ramo BE vai circular uma corrente i3 dada por
\[ \begin{gather} i_{3}=i_{2}-i_{1}\\[5pt] i_{3}=3-1\\[5pt] i_{3}=2\;\text{A} \end{gather} \]
O sentido da corrente i3 será o mesmo da corrente i2 (de maior valor).
Como o valor das correntes são todos positivos, isto indica que os sentidos escolhidos na Figura 1 são corretos. Os valores das correntes são i1=1 A, i2=2 A, e i3=3 A, e seus sentidos estão mostrados na Figura 4.

Figura 4
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