Ejercicio Resuelto sobre Análisis de Mallas
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En el circuito siguiente, determinar las corrientes en las ramas y sus verdaderos sentidos.

 

Datos del problema:

Resistores:

  • R1 = 0,5 Ω;
  • R2 = 0,5 Ω;
  • R3 = 1 Ω;
  • R4 = 0,5 Ω;
  • R5 = 0,5 Ω;
  • R6 = 3 Ω;
  • R7 = 1 Ω.

Baterías:

  • E1 = 20 V;
  • E2 = 20 V;
  • E3 = 6 V;

Solución:

En primer lugar, a cada malla del circuito le asignamos, aleatoriamente, un sentido de corriente. En la malla ABEFA tenemos la corriente i1 en sentido horario y en la malla BCDEB tenemos la corriente i2 también en sentido horario (Figura 1)

Figura 1

Aplicando la Segunda Ley de Kirchhoff a la malla i1 a partir del punto A en el sentido elegido, ignorando la malla i2 (Figura 2)

Figura 2
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_n V_n=0} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} R_2i_1+R_4(i_1-i_2)+E_2+R_5(i_1-i_2)+R_3i_1+R_1i_1-E_1=0 \end{gather} \]

sustituyendo los valores del problema

\[ \begin{gather} 0,5i_1+0,5(i_1-i_2)+20+0,5(i_1-i_2)+1i_1+0,5i_1-20=0 \\[5pt] 0,5i_1+0,5(i_1-i_2)+0,5(i_1-i_2)+1i_1+0,5i_1=0 \\[5pt] 0,5i_1+0,5i_1-0,5i_2+0,5i_1-0,5i_2+1i_1+0,5i_1=0 \\[5pt] 3i_1-i_2=0 \tag{I} \end{gather} \]

Ignorando la malla i1 y aplicando la Segunda Ley de Kirchhoff a la malla i2, tenemos, según la Figura 3, a partir del punto B

Figura 3
\[ \begin{gather} R_6i_2+E_3+R_7i_2+R_5(i_2-i_1)-E_2+R_4(i_2-i_1)=0 \end{gather} \]

sustituyendo los valores del problema

\[ \begin{gather} 3i_2+6+1i_2+0,5(i_2-i_1)-20+0,5(i_2-i_1)=0 \\[5pt] 3i_2+i_2+0,5i_2-0,5i_1-14+0,5i_2-0,5i_1=0 \\[5pt] -i_1+5i_2=14 \tag{II} \end{gather} \]

Con las ecuaciones (I) y (II) tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (i1 e i2)

\[ \left\{ \begin{array}{l} \;3i_1-i_2=0\\ -i_1+5i_2=14 \end{array} \right. \]

Aislando el valor de i2 en la primera ecuación

\[ \begin{gather} i_2=3i_1 \tag{III} \end{gather} \]

sustituyendo este valor en la segunda ecuación

\[ \begin{gather} -i_1+5\times 3i_1=14 \\[5pt] -i_1+15i_1=14 \\[5pt] 14i_1=14 \\[5pt] i_1=\frac{14}{14} \\[5pt] i_1=1\;\mathrm A \end{gather} \]

Sustituyendo este valor en la ecuación (III)

\[ \begin{gather} i_2=3\times 1 \\[5pt] i_2=3\;\mathrm A \end{gather} \]

En la rama BE circulará una corriente i3 dada por

\[ \begin{gather} i_3=i_2-i_1 \\[5pt] i_3=3-1 \\[5pt] i_3=2\;\mathrm A \end{gather} \]

El sentido de la corriente i3 será el mismo que el de la corriente i2 (de mayor valor).
Como los valores de las corrientes son todos positivos, esto indica que los sentidos elegidos en la Figura 1 son correctos. Los valores de las corrientes son i1=1 A, i2=2 A, e i3=3 A, y sus sentidos están mostrados en la Figura 4.

Figura 4
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