Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

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Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Um terremoto gera dois tipos de ondas que se propagam pela superfície. As ondas primárias se deslocam com velocidade de 8 km/s e as ondas secundárias se deslocam com velocidade de 5 km/s. Um observador está a uma certa distância do epicentro do terremoto e recebe as ondas primárias e em seguida as ondas secundárias. A que distância do epicentro o observador está se as ondas secundárias chegam depois de 80 s das ondas primárias?

Dados do problema:

Velocidade das ondas primárias: v_p = 8 km/s;
Velocidade das ondas secundárias: v_s = 5 km/s;
Intervalo de tempo entre as ondas primárias e secundárias: Δt = 80 s.

Esquema do problema:

O problema pode ser reduzido a dois pontos materiais que representam as frentes de onda se movendo com velocidades constantes até passarem pela posição do observador. A onda secundária, mais lenta, passa pelo observador com um atraso de 80 s em relação à onda primária (Figura 1).

Figura 1

Adotamos um sistema de referência com origem na posição do epicentro do terremoto e orientado para a direita. A posição inicial das partículas é S_0p = S_0s = 0, a posição final da partícula que representa a onda primária é S_p = d, que é a posição do observador. A partícula que representa a onda secundária possui um atraso de 80 s em relação à primeira partícula.

Solução

Os dois tipos de ondas se propagam com velocidades constantes, estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), dado por

\begin{matrix} S = S_{0} + v t \end{matrix}

\begin{matrix} (I) & S_{p} = S_{0 p} + v_{p} t_{p} \end{matrix}

\begin{matrix} (II) & S_{s} = S_{0 s} + v_{s} t_{s} \end{matrix}

As ondas primárias atingem o ponto d no instante t_p, as ondas secundárias atingem o ponto d 80 s depois

\begin{matrix} (III) & t_{s} = t_{p} + 80 \end{matrix}

Isolando os valores de t_p e t_s nas equações (I) e (II) e substituindo na equação (III)

\begin{matrix} t_{p} = \frac{d - 0}{8} \\ (IV) & t_{p} = \frac{d}{8} \end{matrix}

\begin{matrix} t_{s} = \frac{d - 0}{5} \\ (V) & t_{s} = \frac{d}{5} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d}{5} = \frac{d}{8} + 80 \\ \frac{d}{5} - \frac{d}{8} = 80 \end{matrix}

multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado esquerdo por 8 e o segundo termo por 5

\begin{matrix} \frac{8}{8} \times \frac{d}{5} - \frac{5}{5} \times \frac{d}{8} = 80 \\ \frac{8 d}{40} - \frac{5 d}{40} = 80 \\ 3 d = 80 \times 40 \\ d = \frac{3200}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} d \approx 1067 km \end{matrix}

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