Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma máquina de Atwood possui massas mA = 6,25 kg e mB = 6,75 kg ligadas por uma corda ideal, inextensível e de massa desprezível, através de uma polia também ideal. Determinar:
a) A aceleração do sistema;
b) A tensão na corda que liga as massas;
c) A tensão na corda que prende o sistema ao teto.


Dados do problema:
  • Massa do corpo A:    mA = 6,25 kg;
  • Massa do corpo B:    mB = 6,75 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Como a massa do bloco B é maior que a massa do bloco A, o bloco B desce enquanto o bloco A sobe. O sistema é ideal, portanto, a aceleração é a mesma para todo o conjunto.
Adotamos um sistema de referência orientado positivamente no sentido de descida do bloco B, mesmo sentido da aceleração da gravidade.
Como a corda é ideal (de massa desprezível e inextensível) ela apenas transmite a força peso dos blocos (Figura 1).
Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Corpo A (Figura 2):
    • \( \vec T \) : força de tensão na corda;
    • \( {\vec P}_{\small A} \) : peso do bloco A.
Figura 2

  • Corpo B (Figura 3):
    • \( \vec T \) : força de tensão na corda;
    • \( {\vec P}_{\small B} \) : peso do bloco B.
Figura 3

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corpo A:
\[ \begin{gather} T-P_{\small A}=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
  • Corpo B:
\[ \begin{gather} P_{\small B}-T=m_{\small B}a \tag{II} \end{gather} \]
A força peso é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]
para os corpos A e B
\[ \begin{gather} P_{\small A}=m_{\small A}g \tag{III-a} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} P_{\small B}=m_{\small B}g \tag{III-b} \end{gather} \]
substituindo a equação (III-a) na equação (I)
\[ \begin{gather} T-m_{\small A}g=m_{\small A}a \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo a equação (III-b) na equação (II)
\[ \begin{gather} m_{\small B}g-T=m_{\small B}a\tag{V} \end{gather} \]
As equações (IV) e (V) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (a e T), somando as duas equações
\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} \cancel{T}-m_{\small A}g=m_{\small A}a\\ m_{\small B}g-\cancel{T}=m_{\small B}a \end{array} \right.} {(m_{\small B}-m_{\small A})g=(m_{\small B}+m_{\small A})a}\\[6pt] a=\frac{(m_{\small B}-m_{\small A})g}{(m_{\small B}+m_{\small A})}\\[6pt] a=\frac{(6,75-6,25)\times 9,8}{6,75+6,25} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 0,38\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

b) Substituindo o valor encontrado no item (a) na primeira (ou na segunda equação do sistema), obtemos a tensão na corda
\[ \begin{gather} T-m_{\small A}g=m_{\small A}a\\[5pt] T=6,25\times 9,8+6,25\times 0,38 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T\approx 63,63\;\mathrm N} \end{gather} \]

c) Como a polia distribui a tensão igualmente na corda dos dois lados da polia, a tensão na corda que sustenta o sistema no teto será o dobro (Figura 1)
\[ \begin{gather} 2T=2\times 63,63 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {2T\approx 127,26\;\mathrm N} \end{gather} \]
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