Ejercicio Resuelto sobre Dinámica
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Un hombre con masa m = 70 kg, está en un ascensor que se mueve con una aceleración a = 2 m/s2. Determinar:
a) La fuerza con la que el hombre actúa sobre el piso del ascensor, si el ascensor está descendiendo;
b) La fuerza con la que el hombre actúa sobre el piso del ascensor, si el ascensor está subiendo;
c) ¿Para qué aceleración del ascensor la fuerza del hombre sobre el piso del ascensor será igual a cero?
Datos del problema:
- Masa del hombre: m = 70 kg;
- Aceleración del ascensor: a = 2 m/s2;
- Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s2.
a) Tomanmos la dirección de la aceleración del ascensor hacia abajo como positiva.
Haciendo un Diagrama de Cuerpo Libre, tenemos las fuerzas que actúan sobre los cuerpos (Figura 1).
-
Ascensor:
- \( \vec N \): acción del hombre sobre el piso del ascensor.
-
Hombre:
- \( \vec P \): peso del hombre;
- \( \vec N \): Fuerza de reacción normal del piso del ascensor sobre el hombre.
Observación: en el ascensor también existe el peso del propio ascensor, pero como queremos
encontrar la fuerza que el hombre hace sobre el ascensor y esta es igual, en módulo, a la reacción del
ascensor sobre el hombre,
\( \vec N \),
basta analizar las fuerzas que actúan sobre el hombre.
Aplicando la Segunda Ley de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
- Hombre:
\[
\begin{gather}
P-N=ma \tag{I}
\end{gather}
\]
el peso es dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
sustituyendo esta ecuación en la equación (I)
\[
\begin{gather}
mg-N=ma\\[5pt]
N=m\;(g-a) \tag{II}\\[5pt]
N=70\times(9,8-2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N=546\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
b) Tomando la dirección de la aceleración del ascensor hacia arriba como positiva.
Nuevamente haciendo un Diagrama de Cuerpo Libre, tenemos las fuerzas que actúan sobre los cuerpos (Figura 2), podemos aplicar la Segunda Ley de Newton.
Las fuerzas que actúan en el ascensor y en el hombre son las mismas que en el ítem (a), (Figuras 1 y 2).
Aplicando la ecuación (I) al hombre, considerando ahora la inversión en la dirección de la aceleración del ascensor
\[
\begin{gather}
N-mg=ma\\[5pt]
N=m\;(g+a) \tag{III}\\[5pt]
N=70\times(9,8+2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N=826\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
c) Si el hombre no ejerce fuerza en el piso del ascensor, debemos tener la fuerza normal nula, N = 0, sustituyendo esta condición en la ecuación (II) del ítem (a).
\[
\begin{gather}
0=m\;(g-a)\\[5pt]
g-a=\frac{0}{m}\\[5pt]
g-a=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=g=9,8\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Observación 1: este resultado significa que el ascensor y el hombre están en caída libre,
el hombre tiende a "despegarse" del piso del ascensor, no hay acción del hombre sobre el ascensor y no
hay reacción del ascensor sobre el hombre.
Observación 2: si en lugar de usar la ecuación (II) del ítem (a), hubiéramos utilizado la ecuación (III) del ítem (b), con la condición de N = 0 el resultado sería a = −g. Esto significa que el módulo de la aceleración sería el mismo, pero la dirección de la aceleración, que en el ítem (b) está orientada hacia arriba, tendría que invertirse hacia abajo, lo que coincide con la situación del ítem (a).
Observación 2: si en lugar de usar la ecuación (II) del ítem (a), hubiéramos utilizado la ecuación (III) del ítem (b), con la condición de N = 0 el resultado sería a = −g. Esto significa que el módulo de la aceleración sería el mismo, pero la dirección de la aceleración, que en el ítem (b) está orientada hacia arriba, tendría que invertirse hacia abajo, lo que coincide con la situación del ítem (a).
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