Exercice Résolu sur les Dynamique
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Un homme de masse m = 70 kg se trouve dans un ascenseur qui se déplace avec une accélération a = 2 m/s2. Déterminer:
a) La force avec laquelle l'homme agit sur le sol de l'ascenseur, si l'ascenseur descend;
b) La force avec laquelle l'homme agit sur le sol de l'ascenseur, si l'ascenseur monte;
c) Pour quelle accélération de l'ascenseur la force de l'homme sur le sol de l'ascenseur sera égale à zéro?
Données du problème:
- Masse de l'homme: m = 70 kg;
- Accélération de l'ascenseur: a = 2 m/s2;
- Accélération de la pesanteur: g = 9,8 m/s2.
a) Nous choisissons la direction de l'accélération de l'ascenseur vers le bas comme positive.
En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les corps (Figure 1).
-
Ascenseur:
- \( \vec N \): action de l'homme sur le sol de l'ascenseur.
-
Homme:
- \( \vec P \): poids de l'homme;
- \( \vec N \): force de réaction normale du sol de l'ascenseur sur l'homme.
Remarque: dans l'ascenseur, il y a aussi le poids de l'ascenseur lui-même, mais comme
nous voulons trouver la force que l'homme exerce sur l'ascenseur, et celle-ci est égale, en module,
à la réaction de l'ascenseur sur l'homme,
\( \vec N \),
il suffit d'analyser les forces agissant sur l'homme.
En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec F=m\vec a}
\end{gather}
\]
- Homme:
\[
\begin{gather}
P-N=ma \tag{I}
\end{gather}
\]
Le poids est donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{P=mg}
\end{gather}
\]
en remplaçant cette équation dans l'équation (I)
\[
\begin{gather}
mg-N=ma\\[5pt]
N=m\;(g-a) \tag{II}\\[5pt]
N=70\times(9,8-2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N=546\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
b) Nous choisissons la direction de l'accélération de l'ascenseur vers le haut comme positive.
En faisant à nouveau un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les corps (Figure 2) et nous pouvons appliquer la Deuxième Loi de Newton.
Les forces agissant sur l'ascenseur et sur l'homme sont les mêmes que dans le cas (a), (Figures 1 et 2).
En appliquant l'équation (I) à l'homme, en tenant compte de l'inversion de la direction de l'accélération de l'ascenseur
\[
\begin{gather}
N-mg=ma\\[5pt]
N=m\;(g+a) \tag{III}\\[5pt]
N=70\times(9,8+2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{N=826\;\mathrm N}
\end{gather}
\]
c) Si l'homme n'exerce pas de force sur le sol de l'ascenseur, nous devons avoir la force normale nulle, N = 0, en substituant cette condition dans l'équation (II) du cas (a).
\[
\begin{gather}
0=m\;(g-a)\\[5pt]
g-a=\frac{0}{m}\\[5pt]
g-a=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=g=9,8\;\mathrm{m/s^2}}
\end{gather}
\]
Remarque 1: ce résultat signifie que l'ascenseur et l'homme sont en chute libre,
l'homme a tendance à "se détacher" du sol de l'ascenseur, il n'y a pas d'action de l'homme sur
l'ascenseur et il n'y a pas de réaction de l'ascenseur sur l'homme.
Remarque 2: si au lieu d'utiliser l'équation (II) du cas (a), nous avions utilisé l'équation (III) du cas (b), avec la condition N = 0, le résultat aurait été a = − g. Cela signifie que le module de l'accélération aurait été le même, mais la direction de l'accélération, qui dans le cas (b) est orientée vers le haut, aurait dû être inversée vers le bas, ce qui coïncide avec la situation du cas (a).
Remarque 2: si au lieu d'utiliser l'équation (II) du cas (a), nous avions utilisé l'équation (III) du cas (b), avec la condition N = 0, le résultat aurait été a = − g. Cela signifie que le module de l'accélération aurait été le même, mais la direction de l'accélération, qui dans le cas (b) est orientée vers le haut, aurait dû être inversée vers le bas, ce qui coïncide avec la situation du cas (a).
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