Ein Kreisbogen mit Radius a und Zentralwinkel θ0 ist mit einer Ladung Q
gleichmä&salig;ig entlang des Bogens verteilt geladen. Bestimmen Sie:
a) Den Vektor des elektrischen Feldes an den Punkten der Geraden, die durch das Zentrum des Bogens verläuft und
senkrecht zur Ebene ist, die den Bogen enthält;
b) Den Vektor des elektrischen Feldes im Krümmungszentrum des Bogens;
c) Den Vektor des elektrischen Feldes, wenn der Zentralwinkel gegen Null geht.
Gegebene Daten:
- Radius des Bogens: a;
- Zentralwinkel des Bogens: θ0;
- Elektrische Ladung des Bogens: Q.
Schema des Problems:
Der Ortsvektor r verläuft von einem Ladungselement dq des Ringes bis zum Punkt P, an dem wir
das elektrische Feld berechnen wollen, der Vektor rq lokalisiert das Ladungselement relativ
zum Ursprung des Bezugssystems und der Vektor rp lokalisiert den Punkt P
(Abbildung 1-A).
\[
\begin{gather}
\mathbf r=\mathbf r_p-\mathbf r_q
\end{gather}
\]
Aus der Geometrie des Problems müssen wir Zylinderkoordinaten wählen (Abbildung 1-B), der Vektor
rq, der in der yz-Ebene liegt, wird geschrieben als
\( \mathbf r_q=y\;\mathbf j+z\;\mathbf k \)
und der Vektor rp besitzt nur eine Komponente in Richtung i,
\( \mathbf r_p=x\;\mathbf i \)
(im Gegensatz zum üblichen Vorgehen, bei dem der Vektor rq in der xy-Ebene
liegt und die Zylinderachse in Richtung k zeigt), der Ortsvektor ist
\[
\begin{gather}
\mathbf r=x\;\mathbf i-\left(y\;\mathbf j+z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf r=x\;\mathbf i-y\;\mathbf j-z\;\mathbf k \tag{I}
\end{gather}
\]
Aus der Gleichung (I) ergibt sich für den Betrag des Ortsvektors r
\[
\begin{gather}
r^2=x^2+(-y)^2+(-z)^2 \\[5pt]
r=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}} \tag{II}
\end{gather}
\]
wobei x, y und z in Zylinderkoordinaten gegeben sind durch
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
x=x\\
y=a\cos\theta\\
z=a\operatorname{sen}\theta
\end{array}
\right. \tag{III}
\end{gather}
\]
Lösung:
a) Der Vektor des elektrischen Feldes ist gegeben durch
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^2}\;\frac{\mathbf r}{r}}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{dq}{r^{3}}\;\mathbf r} \tag{IV}
\end{gather}
\]
Unter Verwendung der Gleichung für die lineare Ladungsdichte λ erhalten wir das Ladungselement dq.
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\lambda=\frac{dq}{ds}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
dq=\lambda\;ds \tag{V}
\end{gather}
\]
wobei
ds ein Bogenelement mit dem Winkel
dθ des Bogens ist (Abbildung 2).
\[
\begin{gather}
ds=a\;d\theta \tag{VI}
\end{gather}
\]
durch Einsetzen der Gleichung (VI) in die Gleichung (V).
\[
\begin{gather}
dq=\lambda a\;d\theta \tag{VII}
\end{gather}
\]
Durch Einsetzen der Gleichungen (I), (II) und (VII) in die Gleichung (IV).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1/2}\right]^{\;3}}}\left(x\;\mathbf i-y\;\mathbf j-z\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}}\left(x\;\mathbf i-y\;\mathbf j-z\;\mathbf k\right) \tag{VIII}
\end{gather}
\]
durch Einsetzen der Gleichungen aus (III) in die Gleichung (VIII).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[\;x^2+\left(a\cos\theta\right)^2+\left(a\operatorname{sen}\theta\right)^2\right]^{3/2}}}\left(x\;\mathbf i-a\cos\theta\;\mathbf j-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[x^2+a^2\cos^2\theta +a^2\operatorname{sen}^2\theta\;\right]^{3/2} }}\left(x\;\mathbf i-a\cos\theta\;\mathbf j-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda a\;d\theta}{\left[x^2+a^2\underbrace{\left(\cos ^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\right)}_{1}\right]^{3/2}}\left(x\;\mathbf i-a\cos\theta\;\mathbf j-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf k\right)} \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\frac{\lambda a\;d\theta}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(x\;\mathbf i-a\cos\theta\;\mathbf j-a\operatorname{sen}\theta\;\mathbf k\right)}
\end{gather}
\]
Die Ladungsdichte λ und der Radius a sind konstant, sie können aus dem Integral herausgezogen
werden, und das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale.
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(x\int d\theta\;\mathbf i-a\int \cos\theta d\theta\;\mathbf j-a\int \operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Da Symmetrie vorliegt, können wir den Zentralwinkel θ0 in zwei Teile aufteilen, gemessen
\( \frac{\theta_0}{2} \)
im Uhrzeigersinn und
\( -{\frac{\theta_0}{2}} \)
gegen den Uhrzeigersinn (Abbildung 3), die Integrationsgrenzen sind
\( -{\frac{\theta_0}{2}} \)
und
\( \frac{\theta_0}{2} \).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(x\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}d\theta\;\mathbf i-a\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\cos\theta\;d\theta\;\mathbf j-a\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\;\mathbf k\right)
\end{gather}
\]
Integral von
\( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\;d\theta \)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\;d\theta &=\frac{\theta_0}{2}-\left(-{\frac{\theta_0}{2}}\right)=\\
&=\frac{\theta_0}{2}+\frac{\theta_0}{2}=\cancel 2\frac{\theta_0}{\cancel 2}=\theta_0
\end{align}
\]
Integral von
\( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\cos\theta\;d\theta \)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\cos\theta\;d\theta &=\left.\operatorname{sen}\theta\right|_{\;-\frac{\theta_0}{2}}^{\;\frac{\theta_0}{2}}=\\
&=\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}-\operatorname{sen}\;\left(-{\frac{\theta_0}{2}}\right)
\end{align}
\]
die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion
\( f(-x)=-f(x) \),
\( \operatorname{sen}\left(-{\dfrac{\theta_0}{2}}\right)=-\operatorname{sen}\dfrac{\theta_0}{2} \)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\cos\theta\;d\theta &=\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}-\left[-\operatorname{sen}\;\frac{\theta_0}{2}\right]=\\
&=\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}+\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}=2\;\operatorname{sen}\;\frac{\theta_0}{2}
\end{align}
\]
Integral von
\( \displaystyle \int_{-{\frac{\theta_{;0}}{2}}}^{{\frac{\theta_{0}}{2}}}\operatorname{sen}\theta\;d\theta\)
\[
\begin{align}
\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\operatorname{sen}\theta\;d\theta &=\left.-\cos\theta\right|_{\;-\frac{\theta_0}{2}}^{\;\frac{\theta_0}{2}}=\\
&=-\left[\cos\frac{\theta_0}{2}-\cos\left(-{\frac{\theta_0}{2}}\right)\right]
\end{align}
\]
die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion
\( f(x)=f(-x) \),
\( \cos\left(-{\dfrac{\theta_0}{2}}\right)=\cos\dfrac{\theta_0}{2} \)
\[
\begin{gather}
\int_{-{\frac{\theta_0}{2}}}^{{\frac{\theta_0}{2}}}\operatorname{sen}\theta\;d\theta=-\left[\cos\frac{\theta_0}{2}-\cos\frac{\theta_0}{2}\right]=0
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(x\theta_0\;\mathbf i-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j-0\;\mathbf k\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda a}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(x\theta_0\;\mathbf i-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j\right) \tag{IX}
\end{gather}
\]
Anmerkung: Das Integral in Richtung
k ist gleich Null, weil ein Ladungselement
dq an
einem Punkt ein Feldelement erzeugt, das in die Komponenten
dEx,
−
dEy und −
dEz zerlegt werden kann
(Abbildung 4-A). Ein weiteres Ladungselement, das symmetrisch angeordnet ist, erzeugt am selben Punkt ein weiteres
Feldelement, das in
dEx, −
dEy und
dEz zerlegt werden kann (Abbildung 4-B). Somit heben sich die Komponenten in
k-Richtung auf, und nur die Komponenten in
i- und
j-Richtung tragen zum Gesamtfeld bei.
Die Gesamtladung des Bogens ist Q und seine Länge ist aθ0, die lineare Ladungsdichte
kann geschrieben werden als
\[
\begin{gather}
\lambda=\frac{Q}{a\theta_0} \tag{X}
\end{gather}
\]
durch Einsetzen der Gleichung (X) in die Gleichung (IX).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{a\theta_0}\frac{a}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(x\theta_0\;\mathbf i-2a\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(\frac{1}{\theta_0}x\theta_0\;\mathbf i-\frac{1}{\theta_0}2a\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}\left(x\;\mathbf i-\frac{2a}{\theta_0}\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j\right)}
\end{gather}
\]
b) Im Krümmungszentrum gilt x = 0; Einsetzen in die Lösung des vorherigen Teils (Abbildung 6).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\left(0^2+a^2\right)^{3/2}}\left(0\;\mathbf i-\frac{2a}{\theta_0}\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j\right) \\[5pt]
\mathbf E=\frac{-{1}}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{a^{3}}\frac{2a}{\theta_0}\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=\frac{-{1}}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{a^2}\frac{2}{\theta_0}\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j}
\end{gather}
\]
c) Wenn der Zentralwinkel gegen Null geht
(\( \theta_0\rightarrow 0 \)),
geht der Bogen in eine Punktladung über; wenden wir den Grenzwert auf die Lösung des vorherigen Teils an (Abbildung 7).
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\underset{\theta_0\rightarrow0}{\lim}-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\;\frac{Q}{a^2}\frac{2}{\theta_0}\operatorname{sen}\frac{\theta_0}{2}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
durch Invertieren des Terms
\( \frac{2}{\theta_0} \)
und Verschieben in den Nenner.
\[
\begin{gather}
\mathbf E=\underset{\theta_0\rightarrow 0}{\lim}-{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{a^2}\dfrac{\operatorname{sen}\dfrac{\theta_0}{2}}{\dfrac{\theta_0}{2}}\;\mathbf j}
\end{gather}
\]
Unter Verwendung des fundamentalen Grenzwertes
\( \underset{x\rightarrow 0}{\lim}{\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}}=1 \)
\[
\begin{gather}
\mathbf E=-{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}}\frac{Q}{a^2}\underbrace{\;\underset{\theta_0\rightarrow 0}{\lim }{\dfrac{\operatorname{sen}\dfrac{\theta_0}{2}}{\dfrac{\theta_0}{2}}}}_{1}\;\mathbf j
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf E=-{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0a^2}}\;\mathbf j}
\end{gather}
\]
und das Ergebnis reduziert sich auf den Vektor des elektrischen Feldes einer Punktladung.
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